Analyse :urbilleder - Billedemængde

det gælder at f^-1(A)={x∈X|f(x)∈A}, samtidigt er f(A)={f(x)|x∈A}

det vil sige at f(f^-1(A))=f({x∈X|f(x)∈A}={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}=A.

Dette er givetvis lidt forvirrende skrevet op, men mængden før det sidste lighedstegn er jo "Funktionsværdien til de punkter hvis funktionsværdi ligger i A" hvilket jo netop er A.

Giver det mening? :)

Her er en lidt kortere forklaring. For at opgave skal give mening må f(x) være en bijektiv afbildning på billedmængden og så er definitionsmængde og billedmængde ens

Hint: Sæt X = {1,2}. Lad f : X→X være defineret ved f(1) = 2 og f(2) = 1. Tag A = {1}. Er f(f^-1(A)) ⊆ A?

Kan dette ikke skrives således op;
Vi har da definationen; f−1(A) = {x ∈ X | f(x) ∈ A} ⊆ A

Vi finder ét vilkårligt element i mængden f-1(A), så;

x' ∈ f-1(A)

Funktionsværdien til mængden findes, så;

f(x') ∈ f(f-1(A))

Pr defination ligger f(x') i delmængden A, så må f(f-1(A)) også ligge i delmængden A.

Hvis der du gjaldt at;

f (f^ (−1)(A)) = A. (læg mærke til = og ikke ⊆),

Kunne dette så bevises eventuel med et modstrid;

Lad igen f: X -> X

Vi definerer den konstante funktion så;

f(1) = 1

f(2) = 1

Så A = {1,2}

Vi har da f(x) ∈ f(f-1(A))

så f(1) = f(2) = {1}.

{1} /= {1,2}, derfor er f (f^ (−1)(A)) = A falsk.

Og har I hints til denne opgave her;

f−1(A) = A ⇔ f(A) ⊆ A og f−1(A) ⊆ A

_______________________________

@TrineHHansen

Du har nok regnet ud, at vi har Analyse 1 sammen.

#5  Hvis f(1) = f(2) eksisterer den inverse funktion ikke.

#7

Kan du uddybe?

Altså det jeg mente var at f(A) = 1, hvor A = {1,2}

f(A) = {1} = A = {1,2} (Så er der modstrid i anden lighedstegn).

Det var ihvertfald min tanke.

En afbildning skal være entydig. Hvad er f^-1(1) ?  1 er billedet af to tal ved afbildningen, så det giver ingen mening at tale om den inverse funktion

Jeg er med på hvad du siger, men har du så en bedre idé at bevise dette på?

se #1 og #2

Grunden til jeg søgte yderligere hjælp skyldtes jeg ikke forstod de forrige svar.

Derfor valgte jeg at skrive med min egen notation, da de forrige svar ikke gav mening.

Svaret i #1, er det ikke nøjagtig det samme som jeg gør i #4. Det vil sige; finder funktionsværdien i et punkt i mængden for urbilledet af A, som så viser sig at være en delmængde af A?

Spg 2) Mit andet spg, som slet ikke relatere sig til forrige opgave er:

f (f^ (−1)(A)) = A. (læg mærke til = og ikke ⊆),

Så tror jeg dette ikke vil gælde, da A er en delmængde af X, når vi lader f: X -> X. Det er det jeg prøver at vise i 5#, som du siger er forkert fordi man ikke kan tage urbilleder til konstante funktioner? Eller forstår jeg rigtig?

Kan man bruge hintet i #3, for at løse mit andet problem:

Ad #1. Du gør det i #4 at du antager at f(A) = A og det holder ikke nødvendigvis.

Ad #2 Du kan godt bevise noget ved at komme frem til en modstrid med et eksempel; men eksemplet skal være korrekt og det er dit eksempel ikke. Fejlen i eksemplet har jeg påvist i #9.

Et andet bevis for påstanden som i virkeligheden er en uddybning af #2. Der skal være en entydig korrespondance  mellem orginalelement x og billedelement y for at der kan være tale om en invers afbildning altså x ⇔ y  Hvis y er billedet af x er x billedet ved den inverse funktion eller om du vil y = f(x) ⇔ x= f^-1(y) .

Jeg har mistet overblikket.

Dette er virkelig forvirrende;

Du skriver "Hvis y er billedet af x er x billedet ved den inverse funktion eller om du vil y = f(x) ⇔ x= f-1(y) ."

x; et punkt i definationsmængden;

y=f(x); et punkt i billedemængden, hvor y = f(x) ⇔ x= f-1(y) ..

Så hvis x er et punkt i definationsmængden, er f-1(y) i billede mængden?

Det er også det jeg gør? Vi har f: X-> X

IGEN: Vi har da definationen; f−1(A) = {x ∈ X | f(x) ∈ A} ⊆ A

Vi finder ét vilkårligt element i mængden f-1(A), så;

x' ∈ f-1(A) (Et element i definationsområdet, som er urbilledet)

Funktionsværdien til mængden findes, så;

f(x') ∈ f(f-1(A)) (et element i billedemængden). (dette ligger stadigvæk i mængden X, da Vi har f: X-> X,)

Pr defination ligger f(x') i delmængden A, så må f(f-1(A)) også ligge i delmængden A

Jeg antager ikke nogle steder f(A) = A. Hvor gør jeg det?

Forresten værdsætter jeg at du har hjulpet mig indtil videre. Tak for det.

Jeg har vist været lidt for ivrig i #1, for at det sidste lighedstegne skal være gældende skal f være surjektiv, så det lighedstegn burde skiftes ud med en ⊆, denne gælder i hvert fald :)

Jeg synes dit modeksempel i #5 ser fornuftigt ud,

#16

Jeg er enig i at det sidste lighedstegn ikke bør gælde, og der istedet for lighedstegnet burde være en ⊆. Det er det jeg prøver at vise i #5. Er du sikker på at det er rigtigt. Ifølge peter lind er det forkert, som han viser i #9.

I #4 prøver jeg at bevise når vi har ⊆. Er det ikke korrekt opskrevet?

i #9 skrives at der ikke findes en invers funktion, dette er rigtigt, men så vidt jeg kan se bruger du ingen invers funktion i #5, så det er næppe relevant.

Altså for f:X→X med X={1,2}, lad A=X og f(1)=1, f(2)=1.

Da har du at f(f^-1(A))=f({1,2}) (da urbilledet af A er de elementer hvorom f(x)∈A)

f(f^-1(A))=f({1,2})={1}≠{1,2}. Altså gælder f(f^-1(A))=A ikke generelt.

mht. #4, så er jeg ikke sikker på at jeg kan følge argumentationen:

Først og fremmest skriver du f^-1(A)⊆A, dette er vel ikke nødvendigvis sandt?

Derudover virker det som om at din argumentation år på at f(x') ∈ f(f^-1(A)) og f(x')∈A ⇒ f(f^-1(A))⊆A det synes jeg ikke er helt åbenlys?

#18

Det var netop også min tanke.

Kan du også be/afkræfte #4 er rigtig? I #4 ønsker jeg at bevise: f (f^ (−1)(A)) ⊆ A.

Jeg har prøvet at gøre som dig i #1, blot med min egen notation.

Og kan du hjælpe med #6?