Definitionsmængde udvidelsen

Man kan altid udvide funktionen for eks til at f(z) = 0 for z ikke et reelt tal.  Hvis funktionen er kontinuert og man ønsker den skal udvides til en kontinuert kompleks funktion kan det også i mange tilfælde lade sig gøreig gøre.

Lad f(x) være defineret for alle x i (a, b). Antag at f er kontinuert.

Den kan udvides på {x ∈ C | a < Re(x) < b}, hvis den er (komplekst) kontinuert på dette domæne.

Er det korrekt forstået?

Du kan altid udvide en funktion til et højere talsystem, som peter lind nævner. Se det trivielle eksempel herunder.

Det interessante er at udvide en funktion til et andet talsystem, så den bevarer sine egenskaber i det andet talsystem, eksempelvis at logaritmefunktionen er den inverse funktion til eksponentialfunktionen. Generaliseringen herover er fx ikke den inverse til eksponentialfunktionen i de komplekse tal.

Så for at svare dit spørgsmål med et boolean (ja/nej)

Kan det lade sig gøre, at funktionen også er defineret for Re x > 0?

Ja og nej (...).

#3

Mente du ikke log(z), for Re z > 0? Jeg vil gerne give et eksempel. Lad os tænke på Gammafunktionen, defineret på R⁺. Der er bevist, at

for alle x > 0. Spørgsmål er så, om man kan udvide det til {z ∈ C | Re z > 0}? For mig, ja, intuitivt -- men jeg ved ikke hvorfor. Skal man ikke begrunde stringent hvorfor dette kan lade sig gøre, eller virker det bare sådan?

Der er to ting, som fik mig til at tvivle: 1) hvordan ved jeg, om hver side er ens, hvis man sætter de komplekse tal ind, f.eks. z = i, og 2) identitetsætningen for de holomorfe funktioner.

Du kan bruge det til at definere Γ(z)/Γ(z) z≠0. Det giver så en differentialligning, som du kan løse