Matematik

Bestem en forskrift for N, og bestem det år, hvor populationen overstiger 2000.

09. april 2016 af 00Julie00 (Slettet) - Niveau: A-niveau

opgave c)

i modellen kan antallet af fisk i populationen beskrives ved en funktion der er løsning til differentialligningen;

(1/N)* dN/dt=f(t)

Bestem en forskrift for N, skitser grafen for N, og bestem det år, hvor antallet af fisk i
populationen overstiger 2000. ?

Jeg vil gerne brude desolve men jeg ved ikke hvordan samt ved jeg ikke hvad man skal gøre når man har desolvet.

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. april 2016 af mathon

$\int \frac{1}{N}\mathrm{d}N=\int f(t)\mathrm{d}t$

$\ln(N)=F(t)+k$

$N(t)=C\cdot e^{F(t)}$

Svar #2
09. april 2016 af 00Julie00 (Slettet)

hvad er det er det det jeg skal skrive i min desolve, kunne du uddybe det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. april 2016 af Therk

Hvilket program bruger du?

Svar #4
09. april 2016 af 00Julie00 (Slettet)

ti n-spire cas

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. april 2016 af mathon

…du kender vel f(t) fra de forudgående spørgsmål eller fra opgavetekstoplægget.

Svar #6
09. april 2016 af 00Julie00 (Slettet)

a) benyt data til at bestemme a og b:

x= 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 2006,

y= 0.398, 0.302, 0.259, 0.221, 0.158, 0.124

denne opgave har jeg lavet: svarene er

b=0.39905591823
a=0.79719375136362

vil det så ikke sige at f(t)=0.39905591823*0.79719375136362^t

Brugbart svar (0)

Svar #7
09. april 2016 af mathon

Jo
f(t) = 0.399056*0.797194^t

$F(t)=\frac{0{,}399056}{\ln(0{,}797194)}\cdot 0{,}797194^t$

Svar #8
09. april 2016 af 00Julie00 (Slettet)

jeg forstår virklig ikke hvad du laver vil du ikke nok sætte nogle ord på. jeg er helt blank

Svar #9
09. april 2016 af 00Julie00 (Slettet)

er der ikke en der vil hjælpe

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. april 2016 af mathon

Du har
   $\left ( a^x \right ){}'=\left ( e^{x\ln(a)} \right ){}'=\ln(a)\cdot e^{x\ln(a)}=\ln(a)\cdot a^x$
hvoraf
      $\frac{1}{\ln(a)}\cdot \left (a^x \right ){}'=\left (\frac{1}{\ln(a)}\cdot a^x \right ){}'=a^x$
og dermed
      $\mathbf{\color{Red} \int a^x\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln(a)}\cdot a^x+C}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. april 2016 af Soeffi

#0. Kunne vi ikke få den præcise opgavetekst fra starten? Der mangler en startværdi.

Brugbart svar (1)

Svar #12
09. april 2016 af Therk

Smæk du evt. lige nogle store bogstaver på, når du begynder en sætning. Det ser så meget mindre sjusket ud.
$\rule{7cm}{0.4pt}$

Du ved at hvis du differentierer din funktion 1/N(t) mht. N, så får du f(t). Det er det, din differentialligning betyder:

$\frac 1{N} \frac{\mathrm d N}{\mathrm dt}= f(t)$

Et almindeligt trick vi benytter os af, når vi skal løse inhomogene differentialligninger, er at gange med dt på begge sider - det er heuristik og ikke formelt korrekt at gøre, men vi gør det alligevel, fordi det virker og vi forstår hvad der sker. Det betyder at

$\frac 1{N}\,\mathrm d N = f(t) \, \mathrm dt$

Dette giver måske ikke megen mening for dig, men vi kan tage integralet på begge sider, fordi der som bekendt gælder at hvis to funktioner er ens, så er deres stamfunktioner også ens (op til en konstant). Dermed:

$\int \frac 1{N} \, \mathrm d N= \int f(t)\, \mathrm dt + k$

hvor k er integrationskonstanten (husk vi tager et ubestemt integrale). Men nu kan vi da integrere! Venstre side er nem:

$\int \frac 1{N} \, \mathrm d N= \log(N)$

hvis altså vi kan huske den integrationsregel! Læg mærke til at jeg har "glemt" at lægge integrationskonstanten til - den er dog undladt med vilje, da den allerede er gemt væk inde i k fra tidligere.

Højre siden kan vi også integrere - du har jo funktionen f(t) givet i dit svar i #6! Benyt evt. dit CAS til at integrere den funktion (selvom det er en fantastisk øvelse at integrere den i hånden!). Dens stamfunktion har mathon skrevet i #7.

Indtil nu har vi ladet N være benævnt uden dens afhængighed af t, men i realiteten er N jo en funktion af t. Vi skriver normalt sådan en afhængighed ved N(t). Det vil sige

$\log(N(t)) = F(t) + k$

Nu mangler vi blot at isolere N(t)! Tag eksponentialfunktionen på begge sider (opløft e med begge sider) og du er færdig. Benyt dig evt. af regnereglerne for eksponentialfunktionen:

$e^{\log(C) + F(t)} = Ce^{F(t)}$

Hvis du er smart, så omskriver du din integrationskonstant til

$k = \log(C)$

Den er arbitrær, så du må kalde den lige hvad du har lyst til.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

... og når du så har gjort ovenstående, så bør du forhåbentligt nemt kunne fortælle mig hvad du skal indsætte i din dsolve! :)

Skriv et svar til: Bestem en forskrift for N, og bestem det år, hvor populationen overstiger 2000.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.