Matematik

Funktioner og differnetialregning

12. juni 2024 af SkolleNørd - Niveau: B-niveau

Hej

Er der nogle der kan hjælpe med at forklare det følgende der står i opgavebeskrivelsen og forklare mig hvad beviset er. Jeg badet rundt i om “bevis for rødder i et 2.gradspolynomium” er det samme som “bevis for toppunktsformel”?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. juni 2024 af Moderatoren

Hvad står der i opgavebeskrivelsen?

Bevis for rødderne i et andengradspolynomium er vist ikke det samme som bevis for toppunktsformlen

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. juni 2024 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}&& f(x)=ax^2+bx+c\\\\\textup{Toppunkt (max/min) kr\ae ver:}\\\\&& f{\, }'(x)=2ax+b=0\\\\&& x=\frac{-b}{2a}\\\textup{som indsat i }\\&& y=ax^2+bx+c\\\textup{giver:}\\&&y=a\cdot \left ( \frac{-b}{2a} \right )^2+b\cdot \frac{-b}{2a}+c\\\\&& y=\frac{b^2}{4a}+\frac{-2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}\\\\&& y=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\\\\&&y=\frac{-b^2+4ac}{4a}\\\\&&y=\frac{-\left ( b^2-4ac \right )}{4a}\\\\&&y=\frac{-d}{4a}\\ \textup{alts\aa}\\\textup{toppunktet:}\\\\&&{\color{Red} \left ( \frac{-b}{2a} ,\frac{-d}{4a}\right )} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. juli 2024 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{Grafen for }\\&y=f(x)\quad \textup{f\o res ved parallelforskydningen }\begin{pmatrix} h\\k \end{pmatrix}\textup{ over i}\\\textup{grafen for}\\&y-k=f(x-h)\\\textup{eller}\\&y=f(x-h)+k\\\\\\ \textup{Dvs}\\\\\textup{Grafen for}\\\textup{parablen}\\&y=ax^2\quad \textup{med toppunkt }(0,0)\\\textup{f\o res ved}\\ \textup{ovenn\ae vnte}\; \textup{parallel-}\\ \textup{forskydning over i}\\\textup{grafen for}\\&y=a\cdot \left ( x-h \right )^2+k\qquad \left ( 0,0 \right )\curvearrowright (h,k)\\\\&y=ax^2-2ahx+ah^2+k\\\\\textup{\textbf{Hvis }vi \o nsker}\\ \textup{parablen p\aa }\\\textup{standardformlen}\\&y=ax^2+bx+c\\ \textup{kr\ae ver det}\\&b=-2ah\Leftrightarrow h=\frac{-b}{2a}\\\textup{og}\\&c=ah^2+k\\\\&\frac{4ac}{4a}=\frac{b^2}{4a}+k\\\\&k=\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-\left ( b^2-4ac \right )}{4a}=\frac{-d}{4a} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. juli 2024 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textup{Det er hermed bevist,}\\\textup{at}\\\textup{parablen}\\&y=ax^2\quad \textup{med toppunkt }(0,0)\\ \textup{med parallel-}\\\textup{forskydningen}\\\textup{efter }\begin{pmatrix} \frac{-b}{2a}\\\frac{-d}{4a} \end{pmatrix}\\\\\textup{f\o res over i}\\\textup{parablen}\\&y=ax^2+bc+c\quad \textup{med toppunkt }\left ( \frac{-b}{2a},\frac{-d}{4a} \right ) \\\\\\\textup{og kan noteres:}\\&y=a \left (x-\left ( \frac{-b}{2a} \right ) \right )^2+\frac{-d}{4a} \end{}$

Skriv et svar til: Funktioner og differnetialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.