Matematik

andenordens differentialligninger - fuldstændig løsning

14. april 2016 af mov92 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har denne ligning y''(t)+ay'(t)+by(t)=0 hvor a og b er reelle konstanter, og det er oplyst at $e^{3t}\cdot cos(9t)$ er en partikulær løsning til denne

Jeg skal angive en rod i karakterligningen, men er ikke sikker på hvordan jeg finder en ud fra dette

Jeg ved at karakterligningen er x^2+bx+c=0

nogle der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. april 2016 af mathon

karakterligningen er
r^2+ar+b=0

Svar #2
14. april 2016 af mov92 (Slettet)

men hvordan finder jeg så en rod?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. april 2016 af mathon

som for
a^2-4b<0

har rødderne
$-\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}\cdot i$
og differentialligningen
$y{\, }''(t)+ay{\, }'(t)+by(t)=0$

har den fuldstændige løsning
$y(t)=e^{-\frac{a}{2}\cdot t}\left ( c_1\cdot \cos\left ( \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}\cdot t \right )+c_2\sin\left ( \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2} \right )\right )$

og for ( c_1,c_2) =(1,0)

den partikulære løsning
$y(t)=e^{-\frac{a}{2}\cdot t}\cdot \cos\left ( \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}\cdot t \right )$

dvs
a=-6 og b=90

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. april 2016 af mathon

der manglede et t:

har den fuldstændige løsning
$y(t)=e^{-\frac{a}{2}\cdot t}\left ( c_1\cdot \cos\left ( \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}\cdot t \right )+c_2\sin\left ( \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}\cdot {\color{Red} t} \right )\right )$

og for ( c_1,c_2) =(1,0)

den partikulære løsning
$y(t)=e^{-\frac{a}{2}\cdot t}\cdot \cos\left ( \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}\cdot t \right )$

dvs
a=-6 og b=90

så den fuldstændige løsning
er
$y(t)=e^{3 t}\left ( c_1\cdot \cos\left ( 9 t \right )+c_2\sin\left (9t \right )\right )$

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. april 2016 af mathon

differentialligningen
er derfor:

$y{\, }''(t)-6y{\, }'(t)+90y(t)=0$

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. april 2016 af mathon

kontrolberegning:

karakterligningen for

$y{\, }''(t)-6y{\, }'(t)+90y(t)=0$

r^2-6r+90=0
har løsningerne
$r=3\pm 9i$

hvorfor den fuldstændige løsning til

$y{\, }''(t)-6y{\, }'(t)+90y(t)=0$
er
$y(t)=e^{3t}\cdot \left ( c_1\cdot \cos(9t)+c_2\cdot \sin(9t) \right )$

som med (c_1,c_2)=(1,0)
har partikulærløsningen

$y(t)=e^{3t}\cdot \cos(9t)$

Skriv et svar til: andenordens differentialligninger - fuldstændig løsning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.