Matematik

Hvornår er væksthastigheden størst

24. april 2016 af jessie96 - Niveau: A-niveau

Udviklingen i vægten af en torsk fra dette område kan beskrives ved følgende model:
v(x)= 10,28/(1+3,177*e^-0,224x).
v(x) betegner vægten af en torsk (målt i kg.) og x betegner alderen af en torsk (målt i år).

a) Tegn grafen for v, og benyt modellen til at bestemme alderen af en torsk, der vejer 8,5 kg.
-Dette spørgsmål har jeg besvaret og kom frem til, at alderen af en torsk på 8,5 kg. er 12 år og 51 dage gammel.

b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for vægten af en torsk ifølge modellen er størst.
-Her er jeg helt på bar bund! Skal jeg skal finde v´´(x), eller er det helt forkert?? Er der en venlig sjæl, som har lyst til at hjælpe mig? :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. april 2016 af mette48 (Slettet)

v(x) er vægten af en torsk

v'(x) er væktsthastigheden for torsk

v''(x)=0 er max/min for væksthastigheden af torsk

Du er ikke på bar bund

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. april 2016 af mathon

For
$f(x)=y=\frac{\tfrac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}$

er væksthastigheden

              $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y(b-ay)=-ay^2+by$    som er et andengradspolynomium i
med maksimum for
                                $y=\frac{-b}{2(-a)}=\frac{1}{2}\frac{b}{a}$
hvoraf
                                $\frac{1}{2}\frac{b}{a}=\frac{\tfrac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{1+Ce^{-bx}}$

$1+Ce^{-bx}=2$

$Ce^{-bx}=1$

$e^{-bx}=C^{-1}$

$e^{bx}=C$

$bx=\ln(C)$

$x=\frac{\ln(C)}{b}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. april 2016 af StoreNord

Ja, find den dobbelt-afledede og beregn hvor den er 0. Det ser ud til at være 5 år, ifølge Geogebra.

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. april 2016 af mathon

Kort:
$f(x)=\frac{\tfrac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}$
har maximal væksthaqstighed for

$x=\frac{\ln(C)}{b}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. april 2016 af mathon

I anvendelse:

$v(x)=\frac{10{,}28}{1+3{,}177e^{-0{,}224x}}$

har maximal væksthaqstighed for

$x=\frac{\ln(3{,}177)}{0{,}224}=5{,}16$

Svar #6
24. april 2016 af jessie96

Kan det passe at væksthastigheden er størst når torsken er 5 år og 58 dage gammel?
-Det jeg gjorde var at udregene x= ln(3,177)/0,224 = 5,16. Derefter gangede jeg 0,16 med 365 (dage på 1 år) for at udregne dage. :)

Har lige et lille spørgsmål... hvordan kan det være at det hedder x= ln(3,177)/0,224 og ikke -0,224?

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. april 2016 af mathon

5,16 år = 5 år og 58 dage er rigtig.

... hvordan kan det være at det hedder x= ln(3,177)/0,224 og ikke -0,224?

Genlæs #2.

Svar #8
24. april 2016 af jessie96

Nårh ja, nu forstår jeg det. :D
Tusinde tak for hjælpen! Hav en dejlig søndag

Skriv et svar til: Hvornår er væksthastigheden størst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.