Matematik

Finde skæringspunkt imellem to funktioner matematisk

06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg skal finde de to skæringspunkter, der er imellem funktionerne f(x)=cos(x) og h(x)=sin(x) i intervallet 0<x<2pi. Jeg har gjort det grafisk (se vedhæftede billede), men hvordan gør jeg det matematisk?

Er det noget med at udnytte forskydningen?

Vedhæftet fil: Screenshot.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. juli 2016 af Capion1

I intervallet
[0 ; ^π/₂] har man
cos ^π/₄ = sin ^π/₄

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. juli 2016 af mathon

$\cos(x)=\sin(x)\; \; \; \; \; x\in\left [ 0; 2\pi \right ]$

$1=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)\; \; \; \; \; x\notin\left \{ \left. \frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2} \right \} \right.$

$\tan(x)=1\Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi }{4}\\ \frac{5\pi }{4} \end{matrix}\right.$

Skæringspunkter mellem f(x) og h(x)
er:
$S_1\left ( \frac{\pi }{4} ;\frac{\sqrt{2}}{2}\right )$ og $S_2\left ( \frac{5\pi }{4} ;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )$

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. juli 2016 af Stats

Ærv... Der var jeg ikke hurtig nok..

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #4
06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Tak. I er sgu fantastiske!

Svar #5
06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Jeg har ydermere en opgave som lyder:

Argumenter for at følgende funktion er kontinuert:

$f(x)=\frac{x^3-1}{2}$

Det vil jeg gøre ved at bevise, at grænseværdien for x gående mod et tal er den samme uanset, om x er gående fra højre eller venstre. Spørgsmålet er bare, hvilket tal skal jeg vælge? Og hvordan beviser jeg, at den er generelt kontinuert ved kun at studere ét tal? Så er det vel kun for dette ene punkt, jeg har bevist det?

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. juli 2016 af Eksperimentalfysikeren

Du kan benytte, at hvis g(x) er kontinuert, så er k*g(x) kontinuert, hvis k er en konstant.

Tilsvarende kan du benytte, at hvis h(x) er kontuinuert, så er h(x) + a kontinuert, hvis a er konstant.

Der gælder også, at hvis l(x) og m(x) er kontinuerte, så er l(x) *m(x) kontinuert.

Hvis du endnu ikke har disse regler til rådighed og skal bruge grænseværdi, skal du vælge at gøre det for x₀, der er en ukendt, men fast værdi. Du skal udføre beviset, så det ikke afhænger af, hvilken værdi x₀ har.

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. juli 2016 af Eksperimentalfysikeren

Om det oprindelige spørgsmål: cos(x) = sin(x).

Her kan du benytet, at cos(x) = sin(π/2-x):

sin(π/2-x) = sin(x) er opfyldt for π/2-x = x

π/2 = 2x

x=π/4

For det andet skæringsunkt kan du beytte cos(x) = sin(2π+π/2-x)

Svar #8
06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

#6 Okay. Min bog giver mig et eksempel på, hvordan man undersøger om en funktion f(x)=cos(x^2) er generelt kontinuert. Og dette gør eksemplet således:

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^-}cos(x^2)=\lim_{x\rightarrow a^+}cos(x^2)=cos(a^2)$

Og jeg har svært ved at se, hvordan dette kan være et fuldt ud gyldigt argument. Der står ikke andet.

Brugbart svar (0)

Svar #9
07. juli 2016 af mathon

Forudsætningen for kontiunuitet af en funktion f(x) er jo netop, at
grænseværdierne
$\underset{x \to {x_o}^- }{\lim}\, \, f(x_o)=\alpha _-=\underset{x \to {x_o}^+ }{\lim}\, \, f(x_o)=\alpha _+$

så differentialkvotienterne $\alpha _-$ og $\alpha _+$ for de to halvtangenter er identiske.

Svar #10
07. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

#9 Men kræver det ikke, at samtlige punkter på grafen undersøges? Hvad er en halvtangent i øvrigt? :)

Brugbart svar (0)

Svar #11
07. juli 2016 af mathon

…hvor $x_o \in Dm(f)$ er vilkårligt valgt.

Skriv et svar til: Finde skæringspunkt imellem to funktioner matematisk

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.