Matematik

Beregning af arccos

07. september 2016 af Ageless127 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.

Jeg skal løse opgaven z=1+i*sqrt(3) og angiv den på eksponentiel form.

Kan simpelthen ikke finde ud af hvordan fx cos(x) = 1/2 giver pi/3

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. september 2016 af mathon

Modulus = $\sqrt{1^2+\left (\sqrt{3} \right )^2}=2$

og for argumentet

$2\cdot \cos(\theta )=1$

$\cos(\theta )=\cos(2\pi -\theta )=\frac{1}{2}$

$\theta=\left\{\begin{matrix} \tfrac{\pi }{3}+p\cdot 2\pi \\ \tfrac{5\pi }{3}+p\cdot 2\pi \end{matrix}\right.$ $p\in\mathbb{Z}$

$2\cdot \sin(\theta )=\sqrt{3}$

$\sin(\theta )=\sin(\pi -\theta )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta=\left\{\begin{matrix} \tfrac{\pi }{3}+p\cdot 2\pi \\ \tfrac{2\pi }{3}+p\cdot 2\pi \end{matrix}\right.$ $p\in\mathbb{Z}$

hvoraf da begge udtryk skal have gyldighed

$\theta =\frac{\pi }{3}+p\cdot 2\pi$ $p\in\mathbb{Z}$

$z=1+i\cdot \sqrt{3}=2e^{i\left ( \tfrac{\pi }{3}+p\cdot 2\pi \right )}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. september 2016 af Eksperimentalfysikeren

Tegn en enhedscirkel i et koordinatsystem. Tegn også den halvlinie, der danner vinklen 60 grader med x-aksen. Kald det punkt, hvor halvlinien skærer cirklen for P. Forbind P med E = (1,0). Du har nu en trekant med vinkler i O=(0,0), P og E. Da vinklen i O er 60 grader og OP og OE begge er radier cirklen, er trekanten ligesidet. Da trekanten er symmetrisk om højden fra P, er højdens fodpunkt F=(½,0), så P's førstekoordinat er ½. Men det er netop cosinus til vinklen i O. Én omgang rundt i cirklen er 360 grader og 2π radianer. 60 grader er 1/6 omgang, så det er 2π/6 = π/3.

Skriv et svar til: Beregning af arccos

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.