Matematik

Integration ved substitution af bestemt integrale

07. oktober 2016 af grahamcracker (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg er igang med en opgave hvor jeg skal bestemme integralet $\int_{2}^{0}\frac{3x^2+2}{\sqrt{x^2+2x+4}}$ vha. integration ved substitution. Jeg er nået helt frem til at have omformet integralet til $\int_{4}^{16}\frac{1}{\sqrt{t}}$ , men nu ved jeg altså ikke helt hvordan jeg løser det videre derfra?

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. oktober 2016 af AMelev

Du mangler hhv. dx og dt, men ...

Du kan gøre en af to ting
1. Brug potensdefinitionerne til at omskrive $\frac{1}{\sqrt{t}}$ til $t^{-\frac{1}{2}}$ og brug integrationsreglen for potenser
2. Forlæng med 2 og omskriv $\frac{1}{\sqrt{t}}$ til $2\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{t}}$ . Benyt, at $(\frac{1}{\sqrt{t}})'=\frac{1}{2\cdot \sqrt{t}}$

Når det så er sagt, er der noget galt med din substitution.
Jeg gætter på, der skulle have stået x³ og ikke x² i nævneren i det første integral, og du så hat substitueret
t = x³ + 2x +4, og fået dt = (3x² + 2)dx.
Men t-grænserne har du byttet rundt på. Nedre grænse: x = 2 ⇒ t = 16 og Øvre grænse: x = 0 ⇒ t = 4.

Svar #2
08. oktober 2016 af grahamcracker (Slettet)

#1

Hold da helt op hvor jeg har præsteret at lave rod i det! :) Det er integralet $\int_{0}^{2}\frac{3x^2+2}{\sqrt{x^3+2x+4}} dx$ jeg skal integrere - jeg kan bare overhovedet ikke finde ud af "funktion"-værktøjet her på studieportalen! Og jeg glemte selvfølgelig også mit dt i $\int_{4}^{16} \frac{1}{\sqrt{t}}dt$ .

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. oktober 2016 af AMelev

men jeg kan stadig ikke lide dine grænser - ellers ok og så er det bare med at flyve videre.

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. oktober 2016 af Capion1

Spaltes det første integral op i to led, findes der færdige stamfunktioner til

$\frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2x+4}}\: \: \: \textup{og}\: \: \: \: \frac{2}{\sqrt{x^{2}+2x+4}}$ men disse kan ikke umiddelbart substitueres, men kan løses

direkte.

Svar #5
08. oktober 2016 af grahamcracker (Slettet)

Tak for svarene til jer begge, men jeg må indrømme at jeg stadig er lidt tabt lige nu, idet at jeg har meget svært ved at finde ud af, hvordan man lige regner et integrale i hånden, og idet, at jeg ikke har haft særlig meget undervisning i netop dette. Bør det ikke være således, at jeg regner det?:

$\int_{a}^{b} f(x)) dx=[F(x)]^b_a=F(b)-F(a)$

Men hvordan finder jeg lige stamfunktionen til $\frac{1}{\sqrt{t}}$ ?

Til #4 - det lyder også som en super smart idé, men igen, jeg er ret stuck på hvordan jeg lige gør det her! :)

Brugbart svar (1)

Svar #6
08. oktober 2016 af AMelev

Nej, det er ikke så smart en ide, for den bygger på din skrivefejl i funktionen.

$\int\frac{1}{\sqrt{t}}dt=\int 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=2\cdot \int\frac{1}{2\sqrt{t}}dt=2\cdot \sqrt{t}+k$ , da $(\sqrt{t})'=\frac{1}{2\cdot \sqrt{t}}$ , altså er $2\cdot \sqrt{t}$ en stamfunktion til $\frac{1}{\sqrt{t}}$ .
Den bruger du så til beregning af integralet - men få nu grænserne rigtigt på plads.

Brugbart svar (1)

Svar #7
08. oktober 2016 af Capion1

# 5
# 4 er skrevet, før du ændrede funktionen med et 3.gradspolynomium under rodtegnet. Så efter rettelsen skal du derfor se bort fra # 4. Den kan så gemmes til en anden gang, hvor opgaven er, som den du startede med.

$\int \frac{1}{\sqrt{t}}\: \textup{d}t\: =\int t^{-\frac{1}{2}}\: \textup{d}t$

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. oktober 2016 af Capion1

# 5
Du har substitueret, - se anden nederste linje i # 1.
Indsæt de gamle x-grænser i udtrykket for t.

Skriv et svar til: Integration ved substitution af bestemt integrale

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.