Matematik

Induktion - gæt af funktion på ændringen af differentialer

13. oktober 2016 af richhomieC (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, SP.

Jeg sidder atter en gang og kæmper med en opgave, denne gang i induktion.

Opgaven er vedhæftet, samt besvarelsen af opgave (a), da den skal danne grundlag for svaret på spørgsmål (b). Jeg er indtil videre kommet frem til, at den skal hedde noget i retningen af.

$-1^{n-1}$ ....

Håber der sidder en venlig natteravn klar med nødhjælp.

Mvh

Vedhæftet fil: induktion_4_dat_ass.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. oktober 2016 af VandalS

Du kan skrive de første fire afledede som

$\begin{matrix} f'(x) &=& x^{-1} &=& (-1)^0 \cdot x^{-1} \\ f''(x) &=& -x^{-2} &=& (-1)^1\cdot 1 \cdot x^{-2} \\ f'''(x) &=& 2x^{-3} &=& (-1)^2 \cdot 2\cdot 1 \cdot x^{-3} \\ f''''(x) &=& -6x^{-4} &=& (-1)^3 \cdot 3\cdot 2 \cdot 1 \cdot x^{-4} \end{matrix}$ ,

så kan du måske selv se systemet =)

Svar #2
14. oktober 2016 af richhomieC (Slettet)

#1 Årh, det gjorde det en del mere overskueligt.

Er jeg helt galt på den, hvis jeg får funktionen til at blive:

$f^{n}=-1^{n-1}\cdot n! \cdot (-1)^{n+1}$

Mvh :-)

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. oktober 2016 af VandalS

Du er noget galt på den da du f.eks. mangler et x. Prøv igen.

Svar #4
14. oktober 2016 af richhomieC (Slettet)

#3 Hmm, jeg synes sgu ikke helt, at jeg kan få det til at gå op... Kan ikke helt finde ud af, hvordan jeg får eksponenten til at følge med i sammenhængen.

Der er jo to eksponenter, hvor den ene skal køre negativt minus 1 ift. den anden...

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. oktober 2016 af Capion1

# 4
Bemærk 0 ! = 1

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. oktober 2016 af VandalS

Prøv at differentiere funktionen

$f_n(x)=c \dot x^{-n}}, \hspace{0.5cm} c \in \mathbb{R}$

og så sammenligne med de afledede, du har fundet allerede.

Svar #7
14. oktober 2016 af richhomieC (Slettet)

#5 Jah, den er jeg med på, men det smelter lidt sammen for mig lige nu.

#6 Umiddelbart får jeg det bare til et rundt 0

Svar #8
14. oktober 2016 af richhomieC (Slettet)

#6 Glem hvad jeg sagde. Jeg får det til $-cnx^{-n-1}$ . Hmm, tror måske det er ved at falde på plads nu.

Svar #9
14. oktober 2016 af richhomieC (Slettet)

Umiddelbart så går det hele op med følgende ligning..

$f^{(n)}=-1x^{-n-1} \cdot n! \cdot (-1)^{n-1}$

$f^{0}=\frac{1}{x} = x^{-1}$

$f^{1}=-\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$

$f^{2}=\frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$

$f^{3}=-\frac{6}{x^4} = -6x^{-4}$

Tusind tak for hjælpen, drenge!

Brugbart svar (1)

Svar #10
14. oktober 2016 af Capion1

Vælg, om du vil have n til at starte med 0 eller 1.

$f^{\left ( n+1 \right )}\; \; \; \left ( -1 \right )^{n}n!x^{-\left ( n+1 \right )}$ n = 0, 1, ...

$f^{\left ( n \right )}\; \; \; \left ( -1 \right )^{n-1}\left ( n-1 \right )!x^{-n}$ n = 1, 2, ...

Skriv et svar til: Induktion - gæt af funktion på ændringen af differentialer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.