Matematik

En homogen funktion af 3 grad

31. oktober 2016 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Lad k være et reelt tal. En funktion f er defineret på en delmængde D af R² kaldes homogen af grad k, hvis der for alle t > 0 og alle (x,y)∈D gælder at:

f(tx,ty) = t^k·f(x,y)

D skal være en delmængde, at definitionen giver mening.

b) Antag nu, at f er en C¹-funktion. Vis ved brug af kædereglen, at f opfylder Eulers ligning:

$x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=k\cdot f(x,y)$

Jeg aner ikke hvor jeg skal starte og hvad jeg skal helt præcist. Jeg kan simpelthen ikke få "åbnet opgaven op"

Jeg ville sagtens kunne se om højre siden passer med venstre siden - men det er mest det med, at jeg skal anvende kædereglen der volder frustrationer..

Brugbart svar (1)

Svar #1
31. oktober 2016 af VandalS

Du mangler vel ikke en faktor $t^{k-1}$ på højresiden i din sidste ligning? Ellers kan jeg ikke se, hvordan det skal kunne gå op.

Brugbart svar (1)

Svar #2
31. oktober 2016 af peter lind

Differentiere du den første ligning med hensyn til t får du med u = t*x, v = t*y

(∂f/∂u)(∂u∂t) +(∂f/∂v)(∂v∂t) = (∂f/∂u)x +(∂f/∂v)y = k*t^k-1f(x, y)

Hvs du derefter sætter t = 1 har du det ønskede

Brugbart svar (1)

Svar #3
31. oktober 2016 af VandalS

#2 Good point, det er selvfølgelig specialtilfældet t=1 .

#0 Når du skal differentiere en sammensat funktion hvis koordinater afhænger af en anden variabel bør du tage den totale afledte (total derivative). Ved brug af kædereglen er dette lig

$\frac{d}{dt}f(u(t),v(t)) = \frac{d u(t)}{dt} \cdot \frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial u(t)}+ \frac{d v(t)}{dt} \cdot \frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial v(t)}$ .

I ord giver kædereglen dig altså at den totale afledte af f med hensyn til t er summen af hver koordinat differentieret med hensyn til t ganget den partielle afledte af f med hensyn til koordinaten.

Svar #4
31. oktober 2016 af Stats

Ok.. Burde man ikke skrive at t = 1?
Tak for hjælpen... Kigger lige lidt nærmere på svarene i gav mig... :-)

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #5
31. oktober 2016 af peter lind

Nej. Det er jo ikke den formel, man vil frem til

Svar #6
31. oktober 2016 af Stats

#5
Ok... Jeg ser logikken nu... Men hvorfra ved du, at hvis man indsætter t = 1, at man da har det ønskede?? Hvor får du den info fra, så det ikke bliver gæt-værk? For det ville jo ikke være sand for t = 2 - og kravet var at t > 0.

Ps.. Vi har haft om kædereglen - men vi har ikke haft om Eulers ligning - og aner ikke hvad den skal bruges til.

Og mange tak for hjælpen :-)

- - -

Mvh Dennis Svensson

Skriv et svar til: En homogen funktion af 3 grad

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.