Projektopgave, polynomier, areal

begynd med begyndelsen

Du skal finde ligningen for en ret linie hvor du kender to punkter på linier.

Hvordan gør man det?

Ligningen for en ret linie er y= ax +b så du kan jo indsætte hvert at de to punkter  og løse de to ligninger du får for a og b

Eller du kan finde en vektor der står vinkelret på linien og bruge at linien og vektoren skal være orthogonale eller... ? hvad synes du?

Mit problem ligger ikke i at finde den lineare forskrift, eller den rette linje gennem x-aksen, men i at finde forskriften for parablen og arealet af græsset

OK, hvad ved vi om parablen y =(x-100)^2 +300   altså når x =100 så er y = 300

dy/dx = 2(x-100) som heldigvis er nul for x =100.

For at finde arealet kan du opdele det grønne område tegn en lodret linie gennem E og du afskærer en firkant som du kan regne arealet af og tegn en vandret linie gennem B til (300,400) og så lodret ned til E

Nu kan du udregne arealet under parablen og det skal trækkes fra, ja du kan nok regne resten ud . 

Jeg forstår ikke hvorfor det gælder for parablen? Har forsøgt at tegne den ind i et koridinatsystem, hvilket ikke ligner den fra opgaven.
Med hensyn til det andet, kunne man ikke regne det med intagral regning istedet?

#3 Jeg kan ikke se nogen enheder noget sted, så hvor kommer de 100 fra, Hvis A(100, 300) er toppunkt er ligningen for parablen y = a(x-100)² + 300  a kan så bestemmes af at parablen skal gå gennem E.

#5 hvis en parabel har toppunkt i (b, c) er dens ligning y = a(x-b)²+c Det er let at se at sådan en parabel går gennem (a, b) og da (x-b)² >=0 og er 0 for x=b er det et toppunkt

 Ja den smuttede:

vi har to punkter af parablen A=(100,300) og E =(300,0) 

Y = ax^2 +bx +c  

Dy/dx = 2 a x + b  og 2 a x + b =0 for x = 100 dvs 200 a =-b og a = -b/200

for punkt A: 300 = a 100^2 + b 100 + c og for punkt E : 0 = a 300^2 +b 300 +c

300 = -b/200 100 *100 +b 100 +c => 300 = b/2 100 +c

og fra den anden ligning 0 =- b/200 300 300 + b 300 +c =- b/2  300 +c

 og c = 300 -b/2 100 indsættes 0 = -b/2 300 + 300- b/2 100 => b/2 400 =300 og b/2 = 3/4 => b = 3/2

så a = -3/400 og c =  225

y = -300 x^2 + 3/2 x +225

Har fået styr på den del nu, har dog stadig nogle problemer med opgave 4,5 og 6

4. Brug afstandsformlen for en linje til et punkt. Punktet lader du være en vilkårlig punkt på skovvejen altså (x, -300x²+3*x+225) Resultatet bliver en funktion af x, som du skal minimere

Det er ikke en af mine gode dage

altså Parablen er -3/400 x^2 +3/2x +225

Det er noget værre at finde den kordeste afstand fra P til parablen. Det letteste jeg kan finde er

at finde tangenternes hældning dy/dx = 3/2 -3/200 x  og vektoren fra P til et vilkårling punkt på parablen

(x-150,y-200)

Den korteste afstand er når den vektor er vinkelret på tangenten dvs

x-150 + (y-200) (3/2 -3/200 x) =0

Det giver en kedelig trediegradsligning med en reel rod og to komplekse.

-225/2+23/8 x -27/800 x^2 +9/80000 x^3=0

den har løsningen x = 195.408 hvilket giver y = 231.73 på parablen og en afstand fra P på 55,3957

Jeg er rimelig sikker på at der ikke er simplere metoder.

længde af skovvejen :

Den lineære del er jo let og for parablen skal du bruge formlen Integralet(Sqrt(1+(3/2 - (3 x)/200)^2) integreret fra 100 til 300 hvilket bliver 100/3 ( 3 Sqrt(10) +ArcSinh( 3) ) = ca 376.843

Altså du integrerer Sqrt( 1 + (dy/dx) ^2)

(Jeg må se at finde ud af hvordan man skriver Latex på denne flade)

Alternativet i opgave 5 er ikke lettere så vidt jeg kan se.

Okay, jeg har forsøgt at benytte distance formlen, ved d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)) og derefter differentiere, analysere og indsætte minimum i d(x). får bare et resultat omkring 66 hvilket jeg kan se er for meget?
?Jeg ved umidelbart ikke om der er en lettere vej med punktet.. vi har bare endnu ikke benyttet vektor regning rigtigt, så ville undrer mig.
Hvis der nogle der har gode råd til den sidste tager jeg også gerne imod dem

Opg 6

Trediegrads polynomiet er 520/27+ 8/9 x- 1/180 x^2   + 1/135000 x^3

Antag y = a x^3 +b x^2 +c x +d;   dy/dx = 3 a x^2 + 2 b x+c

For  extrema dy/dx =0  og x = -b/(3a) +- Sqrt( b^2 -3 a c)/(3a) = A +- B

sættes 400 = A-B og 100 = A+B findes A = 250 og B = -150 

således -b/(3a) =250 og b = -750 a

Ligeledes Sqrt( b^2 -3 a c)/(3a) = -150 hvoraf  a = c/120000

y = c/120000 x^3 - 750/120000 c x^2 +c x +d

Settes y = 60 for x = 100 og y =-40 for x =400 fås c = 8/9 og d = 520/27 og det polynomium vi startede med.

Derefter integreres polynomiet fra 0 til 500 hvilket bliver 5000 og dermed en jordhøjde på 10 meter ved udjævning over de 500 meter..

Til svar #13.

er det afstand fra parabel (skovvejen ) til linien (Landevejen)?

brug dis = | a x1 +b y1 +c|/( a^2 + b^2 ); hvor x1,y1 er et punkt på parablen og a x+ by +c er ligningen for linien som er x+y -500=0

dis = | x1+y1-500|/ 2 ;   y1 =  -3/400 x1^2 +3/2x1 +225 minimer tælleren 

dis = 200/3 /2 = 200/6 =  33 1/3

Du glemte vist nævneren som er 2.

Okay, mange tak - jeg er ikke helt med på dine trin i opgave 6, kan du måske uddybe/skærer ud i pap.

til #14 opgave 6

Du skal finde trediegrads ligningen.

Du ved at der er to ekstrema, P1 = (100,60) og P2 = (400,-40).

Antag y = a x^3 +b x^2 +c x +d;   dy/dx = 3 a x^2 + 2 b x+c , du skal starte med at bestemme a,b,c.

Hvis vi indsætter x=100 og x =400 får vi to ligninger :

3 a 100^2 + 2 b 100 +c=0 og 3 a 400^2 + 2 b 400 +c=0 hvor af vi kan finde a og b som funktion af c

Hvilket giver a = c/120000 og b = -c/160 det giver 

y = c/120000 x^3 - c/160 x^2 +c x +d

Vi ved også at y = 60 for x =100 og y -40 for c =400  det indsættes:

60 = c/120000 100^3 - c/160 100^2 +c 100 +d

-40 = c/120000 400^3 - c/160 400^2 +c 400 +d hvilket giver

c = 8/9 og d = 520/27 og 

y = x^3/ 135000- x^2/180 + 8/9 x + 520/27

Hvilket giver en flot s formet kurve med max y =60 ved  x =100 og min y =-40 ved x =400

Den skærer x aksen lige før 500.

Så skal vi bare integrere fra 0 til 500 (må man vel antage) og det bliver 5000.

OK?

Det var meget bedre tak, men hvorfor er det jord højden bliver 10 meter ?

Det er et godt spørgsmål.

Jeg dividerer de 5000 med de 500 meter de skal fordeles over. Det bliver 5000/500= 10 m

Det forudsætter jo at vi taler om en stribe af konstant bredde.

Hvilket jo ikke er en naturlig antagelse, undtagen at man må gøre den for overhovedet at kunne løse problemet.

Okay tak, sidste spørgsmål, i #11 hvordan får du den y-værdi og afstand til p, har fået den samme x-værdi men herfra går jeg i stå.