Matematik

formel for volumen af kegle og keglestub vha. integral

17. marts 2017 af 321bj (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle sammen, jeg sidder med 2 opgaver, som jeg er lidt i tvivl om, hvordan jeg skal løse.

NR 1:

I den ene har jeg en trekant, som bliver til en kegle, når den drejes 360 grader om y-aksen.

Jeg har givet koordinaterne (0,0), (0,r) og (h,0) som trekantens hjørner, og jeg har bestemt den rette linje gennem (0,r) og (h,0) til (-r/h)*x + r.

Jeg skal nu bestemme en formel for keglens rumfang. Så mit spørgsmål det lyder på, skal jeg gøre det ved at udlede beviset eller nærmere ved at indsætte de størrelser som jeg kender i integralet og så komme frem til formlen V_kegle= (1/3)*π*r²*h ?

NR. 2
Her er givet en trapez, som danner en keglestub når den drejes 360 grader om x-aksen. Denne har givet koordinaterne (0,0), (0,R) og (h,r), hvor R er radius i keglestubbens store grundflade og r er radius i keglestubbens lille grundflade og højden er h.

Den rette linje gennem (0,R) og (h,r) har jeg her bestemt til ((r-R)/h)x + R.
Og mit spørgsmål er egentlig det samme med denne opgave, skal jeg udlede beviset for at bestemme en formel for rumfanget eller skal jeg indsætte min funktion i formlen for rumfang ved rotation om y-aksen og på denne måde komme frem til formlen (1/3)*π*h*(R²*r²+R*r) ?

Svar #1
17. marts 2017 af 321bj (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. marts 2017 af janhaa

$V=\pi \int_0^h (-\frac{rx}{h}+r)^2\,dx$

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. marts 2017 af janhaa

$V_2 = \pi \int_0^h (\frac{(r-R)x}{h}+R)^2\,dx$

Svar #4
17. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#2 og #3 de volumenformler har jeg også fået men jeg skal komme frem til den generelle formel som skrevet i opgaven, skal jeg finde dem ved at udregne integralet?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. marts 2017 af janhaa

#4
#2 og #3 de volumenformler har jeg også fået men jeg skal komme frem til den generelle formel som skrevet i opgaven, skal jeg finde dem ved at udregne integralet?

Svar #6
17. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#5 men tror du godt jeg må gøre det mere simpelt ved at indlægge keglens trekant med hjørner i (0,0), (h,0) og (r,h) ? for ellers synes jeg integralet bliver meget langt og jeg har ikke noget overblik over det

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. marts 2017 af janhaa

#2
1:

$V=\pi \int_0^h (-\frac{rx}{h}+r)^2\,dx$

se her, ikke veldig vanskelig:

$V=\pi\int_0^h(\frac{r^2x^2}{h^2}-2\frac{r^2x}{h}+r^2)\,dx=\pi \left[\frac{r^2x^3}{3h^2}-\frac{r^2x^2}{h}+r^2x \right ]_0^h=\pi\frac{r^2h}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. marts 2017 af janhaa

Den rette linje gennem (0,R) og (h,r) har jeg her bestemt til ((r-R)/h)x + R.
Og mit spørgsmål er egentlig det samme med denne opgave, skal jeg udlede beviset for at bestemme en formel for rumfanget eller skal jeg indsætte min funktion i formlen for rumfang ved rotation om y-aksen og på denne måde komme frem til formlen (1/3)*π*h*(R²*r²+R*r) ?

formelen over er feil...

Svar #9
17. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#8 opdagede godt jeg har skrevet gange i stedet for plus ved R²+r², og har rettet det. Tusind tak for hjælpen. Tror jeg forstår det nu. Har fået udledt den for keglestubben så jeg bør også kunne skrive keglen ud så

Svar #10
18. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#7 Tusind tak for hjælpen. Jeg har prøvet men har et h for meget til sidst i formlen, hvor har jeg gjort noget forkert? har vedhæftet udregningen..

Vedhæftet fil:ff.docx

Skriv et svar til: formel for volumen af kegle og keglestub vha. integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.