Matematik

Vis at f er differentiabel i endepunktet a

20. marts kl. 13:24 af Oatmeal - Niveau: Universitet/Videregående

Opgaven lyder:

\begin{align*} &\text{Lad }f:[a,b]\to\mathbb{R}\text{ vaere kontinuert paa det afsluttede, begraensede interval }[a,b].\\ &\text{Antag endvidere at }f\text{ er differentiabel paa det aabne interval }(a,b).\\&\text{Antag at der findes et tal }c\in\mathbb{R}\text{ saa }\\\\ &\qquad\qquad\qquad f'(x)\to c \quad\text{for }x\to a_+.\\\\ &\text{Vis at }f\text{ er differentiabel i endepunktet }a\text{ med }f'(a)=c.\\ &\text{Vink: brug middelvaerdisaetningen}. \end{align*}

Jeg har fået følgende kommentarer til min aflevering: Men jeg kan stadig ikke komme videre :( . Er der nogen, der kan hjælpe mig inden min genaflevering i morgen?


Brugbart svar (1)

Svar #1
20. marts kl. 16:01 af VandalS

Se https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1667179


Brugbart svar (1)

Svar #2
20. marts kl. 21:18 af AskTheAfghan

Hvis du benytter den formelle definition af grænseværdien fra venstre eller højre, må du gerne kigge lidt på One-sided, eller på Existence and one-sided limits.

At f er differentiabel i a (fra højre) med f '(a) = c vil sige, at limx→a+ (f(x) - f(a))/(x - a) findes og den giver c. Middelværdisætningen fortæller nemlig, at der for ethvert x ∈ [a,b] findes ξx ∈ (a, x) således at f '(ξx) = (f '(x) - f(a))/(x - a). Benyt andre informationer i opgaven til at konkludere.


Svar #3
20. marts kl. 21:38 af Oatmeal

#2 Tak for svar. Efter at have kigget på http://math.stackexchange.com/questions/1568857/show-that-if-lim-x-rightarrow-afx-a-then-fa-exists-and-equals-a?rq=1, har jeg lavet følgende besvarelse: 

Er denne metode mon ligeså gyldig som den med epsilon/delta?


Brugbart svar (1)

Svar #4
20. marts kl. 23:24 af AskTheAfghan

Den er ikke helt godkendt, for du mangler at forklare mere hvad du har lavet og hvorfor. Det må du lige forbedre. For at gøre det på din måde, kan du måske gøre det på følgende måde. Der findes ξ ∈ (a, x) således at f '(ξ) = (f '(x) - f(a))/(x - a). Hvis x → a+, vil a → a, x → a, og dermed er ξ → a. Overvej hvorfor. Idet limx → a+ f '(x) findes, må f '(x) være kontinuert i x = a fra højre. Overvej hvorfor. Specielt er lim ξ → a+ f '(ξ) = f '(a). (*). Idet limx → a+ f '(x) = c, får vi f '(a) = lim ξ → a+ f '(ξ) = limx → a+ f '(x) = c.

(*) Hvis f er kontinuert i L og limx→p g(x) = L, så er limx→p f(g(x)) = f(L). Bevis det, eller giv kilder hvis det står i din bog.


Skriv et svar til: Vis at f er differentiabel i endepunktet a

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.