Matematik

Undersøg om f er løsning til differentialligningen

27. juli 2017 af kitsimos (Slettet) - Niveau: A-niveau

En funktion f er bestemt ved f(x)=x*e^x

dy/dx = y+e^x

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. juli 2017 af mathon

$\small f(x)=y=x\cdot e^x$

$\small \small \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x+y=y+e^x$

hvoraf
$\small y=x\cdot e^x$ er løsning til

$\small \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y+e^x$

Svar #2
27. juli 2017 af kitsimos (Slettet)

Var det ikke noget med at først skal lave venstre side også derefter hs?

Kan du måske også lige vise det?

Svar #3
27. juli 2017 af kitsimos (Slettet)

Gør rede for, at funktionen f (x) = (x+1) ⋅ ex er en løsning til differentialligningen (dy/dx) = y + (y/x+1).

Hvad er x her?

Brugbart svar (1)

Svar #4
27. juli 2017 af mathon

                $\small y=(x+1)\cdot e^x$
            $\small \Updownarrow$
                $\small \small \small \small \frac{y}{x+1}=\mathbf{\color{Red} e^x}\; \; \; \; \; x\neq -1$
differentiation af
                            $\small y=(x+1)\cdot e^x$
giver:
                            $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=1\cdot e^x+(x+1)\cdot e^x=\frac{y}{x+1}+y=y+\frac{y}{x+1}$

hvoraf
$\small \small y=(x+1)\cdot e^x$ er løsning til

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y+\frac{y}{x+1}$

Svar #5
27. juli 2017 af kitsimos (Slettet)

Gør rede for, at funktionen f(x)=xlnx er en løsning til differentialligningen

y' = y/x+1

Svar #6
27. juli 2017 af kitsimos (Slettet)

Denne her er lidt anderles, betyder at det bare skal diffenteres?

Brugbart svar (1)

Svar #7
27. juli 2017 af mathon

$\small \small y=x\cdot \ln(x)\; \; \; \; \; x\in \mathbb{R}_+$
$\small \Updownarrow$
$\small \small \small \frac{y}{x}=\mathbf{\color{Red} \ln(x)}$

$\small y{\, }'=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=1\cdot \ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}=\ln(x)+\frac{x}{x}=\frac{y}{x}+1$

Svar #8
27. juli 2017 af kitsimos (Slettet)

Find den løsning f til differentialligningen:

dy/dx = 1.2y

der opfylder, at f(0)= 10

Brugbart svar (1)

Svar #9
27. juli 2017 af mathon

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=1{.}2y$ separation af de variable

$\small \frac{1}{y}\mathrm{d} y=1{.}2\mathrm{d} x$

$\small \int \frac{1}{y}\mathrm{d} y=\int 1{.}2\mathrm{d} x$

$\small \ln(y)=1{.}2x+k$

$\small y=f(x)=e^{1{.}2x+k}=e^{1{.}2x}\cdot e^k=C\cdot e^{1{.}2x}$ der skal opfylde

$\small \small \mathbf{\color{Blue} f(0)=10}$

$\small C\cdot e^{1{.}2\cdot 0}=10$

$\small C\cdot 1=10$

$\small C=10$
konklusion:
$\small \small \small \mathbf{\color{Red} f(x)=y=10\cdot e^{1{.}2x}}$

…
efterprøvning af resultat:

$\small f{\, }'(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=10\cdot e^{1{.}2x}\cdot 1{.}2=1{.}2\cdot \left( 10\cdot e^{1{.}2x}\right )=1{.}2\cdot y$

Skriv et svar til: Undersøg om f er løsning til differentialligningen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.