Mængder

Lad A,B,C⊂X være mængder. Vis at følgende gælder

A\(B∪C) = (A\B) ∩ (A\C)

--------------------------------------------------------------------------------

Jeg kan anvende følgende:

(1) A∪B = {x : x ∈ A eller x ∈ B eller x ∈ A og B}
(2) A∩B = {x : x ∈ A og x ∈ B}
(3) A\B = {x : x ∈ A og x ∉ B}

De distributive love
(4) A∩(B∪C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
(5) A∪(B∩C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

De Morgan's identitet
(6) (A∩B)^c = A^c∪B^c
(7) (A∪B)^c = A^c∩B^c

Udvidelse af de Morgan's identitet
(8) (∩_i∈I A_i)^c = ∪_i∈I A_i^c
(9) (∪_i∈I A_i)^c = ∩_i∈I A_i^c

--------------------------------------------------------------------------------

A\(B∪C)
= {x : x ∈ A og x∉(B∪C)}                                  (Har anvendt definitionen (3))
= {x : x ∈ A og x∈(B∪C)^c}                                 (Har anvendt at x∈A^c ⇔ x∉A)
= A∩(B∪C)^c                                                      (Har anvendt definitionen (2))

= [...] <--- her kan man se fejlen.. Udtrykket ovenfor stemmer ikke overens med udtrykket nedenfor

= A∪(B∪C)^c
= [A^c∩(B∪C)]^c                                                   (Har anvendt (6))
= [(A^c∩B)∪(A^c∩C)]^c                                          (Har anvendt (4))
= [ (A∪B^c)^c ∪ (A∪C^c)^c ]^c                                    (Har anvendt (7) på begge led)
= (A∩B^c) ∩ (A∩C^c)                                            (Har anvendt 7 på hele udtrykket)
= {x : x∈A og x∈B^c}∩{x : x∈A og x∈C^c}             (Har anvendt definitionen (2))
= {x : x∈A og x∉B}∩{x : x∈A og x∉C}                (Definition (3) og x∈A^c ⇔ x∉A)
= (A\B) ∩ (A\C)

Hvor i alverden har jeg lavet fejl?