Matematik

Største fælles divisor bevis

03. september 2017 af YesMe - Niveau: Universitet/Videregående

Betragt det følgende lemma,

$(a,b)=1\implies (a^2,b^2)=1$

Jeg er interesseret i at vide, hvordan man beviser ved induktion sammen med lemmaet, at

$(a,b)=1\implies \forall n\geq 1:(a^{2^n},b^{2^n})=1$

Denne påstand er klart for n = 1 (jf. lemmaet). Antag at der findes et naturligt k sådan at den gælder for n = k. At vise, at den gælder for n = k + 1, er kringlet for mig. Her er hvad jeg har fantaseret. Ifølge Bezouts identitet, findes der to heltal x,y sådan at

$a^{2^k}x+b^{2^k}y=1$

Idet (a, b) = 1 medfører (a²,b²) = 1, kan vi erstatte i ligningen a og b med hhv. a² og b². Dette giver, at

$1=(a^2)^{2^k}x+(b^2)^{2^k}y=a^{2^{k+1}}x+b^{2^{k+1}}y$

hvilket beviser, at påstanden gælder for n = k + 1, men jeg er i tvivl om det er en lovlig fremgangsmåde.

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. september 2017 af Number42

Hvad er (a,b)? et indre produkt eller et sesquilinear produkt eller en vektor eller ?????

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. september 2017 af janhaa

#1
Hvad er (a,b)? et indre produkt eller et sesquilinear produkt eller en vektor eller ?????

trur (a, b) = 1 svarer til gcd(a, b) = 1

Brugbart svar (1)

Svar #3
03. september 2017 af AskTheAfghan

Du kan ikke blot erstatte størrelserne med de andre. For simpelthedens skyld sætter vi f(x, y) = x^y for x,y naturlige tal. Du har nok observeret, at (f(x, 2^k))² = f(x², 2^k) = f(x, 2^k+1). Da siger lemmaet direkte, at (f(a, 2^k), f(b, 2^k)) = 1 medfører (f(a, 2^k+1), f(b, 2^k+1)) = 1.

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. september 2017 af Number42

Wow

Lidt tankevirksomhed ville være vel anbragt

Svar #5
04. september 2017 af YesMe

#1 Afslører titlen ikke lidt hvad der menes med (·.·)? Jeg kan ikke se hvordan det indre produkt eller de andre har med "største fælles divisor" at gøre. Jeg må formulere det bedre næste gang så.

Skriv et svar til: Største fælles divisor bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.