hvordan finder man frem til følgende nedstående?

.

Der er ikke nogen speciel metode, observer og konkluder.

(jeg går ud fra at du forstår hvordan man differentierer)

Ja, det er blot hvordan man opstiller ligningerne for at komme frem til det sidste :)

Jeg ved ikke hvad dit spørgsmål er. Jeg formoder, at f(x) = cos(ax), og du vil finde f⁽ⁿ⁾(x) for n lige og ulige. Du har

f '(x) = -a sin(ax),                                      f ''(x) = (-a)a cos(ax) = -a² cos(ax),

f⁽³⁾(x) = -a²(-a) sin(ax) = a³ sin(ax),         f⁽⁴⁾(x) = a³a cos(ax) = a⁴ cos(ax),

f⁽⁵⁾(x) = a⁴(-a) sin(ax) = -a⁵ sin(ax),  og   f⁽⁶⁾(x) = -a⁵a cos(ax) = -a⁶ cos(ax).

Se på f⁽ⁿ⁾(x) for n ulige, dvs. på venstre side af kolonnerne. Læg mærke til fortegsskiftet. Mønstret viser (muligvis), at f⁽ⁿ⁾(x) er (-1)^(n+1)/2 ganget med aⁿ sin(ax) for n ulige. Her kan du sætte k = (n + 1)/2, hvilket er ækvivalent med n = 2k + 1.

På højre side af kolonnerne viser (muligvis), at f⁽ⁿ⁾(x) er (-1)^n/2 ganget med aⁿ cos(ax) for n lige. Her kan du sætte k = n/2, hvilket er ækvivalent med n = 2k. For at bevise dem, kan man benytte induktionspricippet.

Bemærk at disse kan simplificeres til  f^{(2n -1)}(x) = (-1)ⁿ a^2n-1 sin(ax) og f⁽²ⁿ⁾(x) = (-1)n a²ⁿ cos(ax) for n naturlige tal.