Matematik

Vedrørende Eulers formel

13. september 2017 af Makrofagen - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, ifølge Eulers formel er:

cos(t) = (eit + e-it)/2

I den forbindelse stødte jeg på en youtubevideo, hvor det vises, at (sin(x))2 kan omskrives til:

1/2 - 1/2 * cos(2x)

Jeg forstår godt selve formlen, men jeg forstår ikke sidste trin i det, han viser; han siger nemlig,

at (e2x - e-2x)/2 kan omskrives til cos(2x), men hvordan kan det lade sig gøre? Skulle der ikke stå + mellem e'erne? Se evt. video (8.18-8.34). 

https://www.youtube.com/watch?v=BYA_LCshatw

Jeg sidder lige nu med en opgave, og der får jeg 1/2 * 1/2 * (ei36t - e-i36t)/2 som én af de sidste beregninger (har også tjekket via Maple). Kan dette udtryk så omskrives til 1/2 * 1/2 * cos(36x)?


Svar #1
13. september 2017 af Makrofagen

RETTELSE:

Jeg får:

1/2 - 1/2 * (ei36t - e-i36t)/2


Svar #2
13. september 2017 af Makrofagen

Vi prøver lige igen: 

1/2 - 1/2 * (ei36t - e-i36t)/2


Brugbart svar (0)

Svar #3
13. september 2017 af Therk

I videoen omkring 8:17 laver han en fortegnsfejl - se udtrykket han reducerer fra; der har han korrekt et plus mellem de to eksponentielle funktioner

\frac{-1}{4}\Bigl(e^{i2x} -1 -1 \stackrel{\color{red}~}+ e^{-i2x} \Bigr )

Så resultatet er rigtigt, at det skal være cos(t), men mellemregningen er forkert. Godt fanget. Husk i øvrigt at i er meget vigtig at få med (glemte du i #0).

I dit udtryk i #2 har du både 1/2 før og efter din parentes. Er det med vilje? Derudover så gælder der at

\frac{e^{it} \stackrel{\color{red}~}- e^{-it}}2 = {\color{red}i} \sin(t)


Brugbart svar (0)

Svar #4
13. september 2017 af Therk

Et Maple trick: Du kan kontrollere om du regner rigtigt med convert(<udtryk>,trig)

(exp(I*x) + exp(-I*x))/2;
convert(%,trig);                       ## Resultat: cos(x)


Svar #5
14. september 2017 af Makrofagen

Tak for tricket til Maple, bøvler lidt med det nemlig. Og ja, glemte i'et, det har du ret i! Havde jeg slet ikke set, er vant til at skrive i hånden. ;-)

Ja, altså, min mellemregning ser sådan ud:

-1/4 *(ei36t - 1 - 1 + e-i36t)

Så ganger jeg -1/4 ind i parentesen:

-1/4 * ei36t + (-1/4) * e--i36t - 1/4 * (-2)

-1/4 * ei36t -1/4 * e-i36t + 1/2

Tænkter, at jeg nu skal sætte -1/2, således at jeg får:

1/2 - 1/2 * (ei36t + e-i36t/2)

Er dette korrekt? Det passer, når jeg ganger ind i parentesen. Eller også har jeg bare stirret mig fuldstændig blind på det. 

Nej, der skal ikke stå 1/2 efter parentesen. Glemte bare parentes omkring hele udtrykket. :-)


Brugbart svar (0)

Svar #6
15. september 2017 af Therk

Ud over at det måske er lidt omsonst at gange (-1/4) ind for så at gange ud igen, så: Ja, det er korrekt. Du kunne evt. bare trække (-2) ud af parentesen :)

Og det sidste udtryk kan du så omskrive på trigonometrisk form.


Svar #7
15. september 2017 af Makrofagen

Det er mere overskueligt for mig med en masse mellemregninger.Tak for hjælpen, god weekend! :-)


Skriv et svar til: Vedrørende Eulers formel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.