Matematik

Volume af Keglestub udledning

15. oktober 2017 af Eukaryote (Slettet) - Niveau: A-niveau

Er blevet stillet følgende spørgsmål:

Del A)

Bevis formlen for volumen af en keglestub, ved at beregne omdrejningslegemet af den skrå linje med højden lille r og store R i den anden side. Afstanden mellem lille R og Store R er højde h.

A) rotere ovenstående omkring funktionen (1/3)*x og få samme volumeformel

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. oktober 2017 af SuneChr

Lad den rette linje indeholde de to punkter (0 ; r) og (h ; R)
Linjen vil da have forskriften
$f(x)=\frac{R-r}{h}x+r$
Benyt formlen for omdrejningslegemets rumfang gældende intervallet 0 ≤ x ≤ h

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. oktober 2017 af mathon

Man har
da:
$\small V_x=\pi \int_{0}^{h}\left (\tfrac{R-r}{h}x+r \right )^2\mathrm{d}x$
som med
$\small u=\tfrac{R-r}{h}x+r$ og dermed $\small \tfrac{h}{R-r}\, \mathrm{d}u=\mathrm{d}x$
og de substituerede
grænser:

$\small \begin{matrix} h\\0 \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} R\\r \end{matrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. oktober 2017 af mathon

hvoraf:
$\small \pi \int_{0}^{h}\left (\tfrac{R-r}{h}x+r \right )^2\mathrm{d}x=\pi \cdot \tfrac{h}{(R-r)}\int_{r}^{R}u^2\mathrm{d}u=\pi \cdot \tfrac{h}{(R-r)}\left [ \tfrac{1}{3}u^3 \right ]_r^R=\tfrac{\pi}{3}\cdot \tfrac{h}{(R-r)}\left ( R^3-r^3 \right )=$

$\small \tfrac{\pi}{3}\cdot \tfrac{h}{(R-r)}\left ((R-r)^3+3R^2r-3Rr^2 \right )=\tfrac{\pi}{3}\cdot \tfrac{h}{(R-r)}\left ((R-r)^3+3Rr(R-r) \right )=$

$\small \tfrac{\pi}{3}\cdot h\cdot \left ((R-r)^2+3Rr \right )=\tfrac{\pi}{3}\cdot h\cdot \left ( R^2+r^r-2Rr+3Rr \right )=\tfrac{\pi }{3}\cdot h\cdot \left ( R^2+r^2+Rr \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. oktober 2017 af mathon

$\small r^r\rightarrow r^2$

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. oktober 2017 af mathon

detaljer:
$\small \left ( R-r \right )^3=R^3-3R^2r+3Rr^2-r^3$

$\small \Updownarrow$
$\small R^3-r^3=\left (R-r \right )^3+3R^2r-3Rr^2$

Skriv et svar til: Volume af Keglestub udledning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.