nogle der kan give hint til opgaverne (4-9)

Opgave 1: Opstil en model som beskriver udviklingen af vampyrer ??(??) = ?? − ??(??), hvor ??(??) er den funktion I finder, ??(??) er antal mennesker tilbage som en funktion af ?? (antal måneder), og ?? er antal mennesker fra start.

Opgave 2: Hvor lang tid går der før der ikke er flere mennesker i verdenen?
Opgave 3: Hvor stor skal fødselsraten være for at modvirke udviklingen i vampyrer?

Som I nok har gættet er der en hel del antagelser som gør det lidt kunstigt (altså ud over vampyrerne). For det første, er alle mennesker ikke samlet på et sted. For det andet vil man nok opdage alle de vampyrer som lige pludseligt dukker op. Der er mange flere antagelser, som f.eks. at der ikke fødes eller dør mennesker i perioden, eller som minimum at fødes lige så mange som der dør.

Nu vil vi prøve at ændre én af antagelserne, nemlig at alle som bliver bidt bliver til vampyrer. Vi, vil nu, tillade at en procentsats ?? af dem som bliver bidt overlever (altså ikke bliver til en vampyr).

Opgave 4: Givet den model I fandt i opgave 1, indfør ?? i modellen.
Opgave 5: Hvor lang tid går der før der ikke er flere mennesker i verdenen (se på forskellige

værdier af ??)?
Opgave 6: For hvilket ?? har menneskeheden en chance for at overleve?

Lad os nu antage, i stedet for at overleve at en procentsats af dem som bliver bidt dør.

Dvs. vi stadigt skal bruge modellen fra opgave 1. Men nu skal vi overveje hvad det betyder at disse uheldige individer dør. I modsætning til før ændre vi nu på antallet af mulige vampyrer, den

ændring er afhængig mortalitetsraten (altså procentsatsen ?? af folk som dør). Hvis vi antager denne rate er konstant kan vi skrive det som en differentialligning:

??′(??) = −?? ??(??)

Hvor ??(??) er modellen fra opgave 1, og m er givet som ln?(??) Opgave 7. Løs denne ligning (det står i bogen hvordan man gør). Vi kan nu sætte det hele sammen:

??(??) = ?? − ??(??) −svar fra opgave 7. Opgave 8. For hvilke værdiger af ?? og ?? har menneskeheden en chance?

Opgave 9. Hvor stor skal fødselsraten være for at vi kan overleve?