Matematik

Ligning med uendeligt mange løsninger

14. november 2017 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Hvis jeg ønsker at løse ligningen

$\\ 1+3x_1=n\\ 2+5x_2=n+1\\ 3+7x_3=n+2$

Hvordan finder man bare én vilkårlig løsning... Man skal vel ikke gætte?

Eller kan man udnytte at 3·5·7 = 105, og derfor må n = 106...

Men det fungere så bare ikke med

$\\ 1+3x_1=n\\ 2+5x_2=n+1\\ 3+7x_3=n+2\\ 5+11x_4=n+3$

Da 3·5·7·11 = 1155, så er n ≠ 1156 (jeg ved trods alt at én løsning er n = 213 til ovenstående.)

Findes der en metode til at finde disse løsninger? Eller en metode til at vise eksistensen af sådan en løsning?

Svar #1
14. november 2017 af Stats

n skal selvfølgelig være et naturligt tal ovenfor..

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. november 2017 af peter lind

Du må forklare opgaven ordentlig. Som jeg ser det kan du bare trække konstanten over på højre side og dividere med koefficienten til x. Den første for så løsningen x1 = (n-1)/3

Svar #3
14. november 2017 af Stats

Et eksempel....

Jeg ønsker at finde et n, så den har formen forneden...

$\\ 1+3x_1=n\\ 2+5x_2=n+1\\ 3+7x_3=n+2\\ 5+11x_4=n+3$

Sådan et n kan være n = 211, da

1 + 3x₁ = 211
2 + 5x₂ = 212
3 + 7x₃ = 213
5 + 11x₄ = 214

alle har en løsning x₁,x₂,x₃,x₄∈N eksakt: (x₁,x₂,x₃,x₄) = (70,42,30,19)

Altså, jeg skal både finde et passende n og passende x'er

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. november 2017 af VandalS

Omform dine ligninger, så de er på formen

$\\x_1 = \frac{n-1}{3} \\ x_2 = \frac{n-1}{5} \\ x_3 = \frac{n-1}{7} \\ x_4 = \frac{n-2}{11}$

Hvis disse løsninger skal være heltallige, må

$\\ n \equiv 1 \mod 3 \\ n \equiv 1 \mod 5 \\ n \equiv 1 \mod 7 \\ n \equiv 2 \mod 11 \\$

Disse ligninger kan løses med den kinesiske restklassesætning (chinese remainder theorem), og løsning for disse fire ligninger er

$n = 211 + 1155 \cdot \mathbb{Z}$

Hvis du kun er interesseret i de naturlige værdier af n tager du selvfølgelig bare de positive værdier af denne løsningsmængde.

Skriv et svar til: Ligning med uendeligt mange løsninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.