Bevis for rumfang af pyramide?

Du kan jo tage integralet tværs igennem pyramiden og kvadrere?           :)
Nej, det duer ikke.
Men du kan sikkert tage grundfladen og integrere opad. Men spørg ikke mig hvordan.

Måske sådan noget her:

https://www.youtube.com/watch?v=f6nUNTfiK5Y

#1: Jo, da.

Du skærer pyramiden i skiver nedefra, hver med en tykkelse = dh.

Rumfanget af en skive = ( sidelængde(h) )² · dh

Volumen af pyramide = ₀∫^H(sidelængde(h))²·dh , hvor H er pyramidens højde.

PS:  Sidelængde(h) aftager lineært fra bund mod top. I toppen er sidelængde = 0.

Måske kan du gøre det grafisk:

https://www.geogebra.org/m/ck3ztXBn

Ved at dreje lidt rundt på tegningen kan man ihvertfald hurtigt se, at rumfanget er væsentligt mindre end det halve af terningen.

Tænker umiddelbart at bevise formlen V=G*h/3. Men ved i hvordan?

Det kan gøres med integration, som #3 beskriver.

Jeg vil prøve, om jeg kan konstruere et andet bevis.

I stedet for den pyramide, som vi kender fra Ægypten, ser vi på en retvinklet pyramide. Den har et kvadrat ABCD som grundflade og toppunkt i S, hvor AS er vinkelret på kvadratet. Længden AS = h og sidelængden AB = a. Det søgte rumfang kaldes V.

Parallelt med ABCD snittes pyramiden med en plan i afstanden h/2 fra grundfladen. Derved kommer dannes en ny pyramide med en kvadratisk grundflade, A'B'C'D', og højde h/2. Ved brug af ensvinklede trekanter ses det, at kantlængderne i det nye kvadrat er a/2. Derfor er arealet af den nye grundflade a/2 * a/2 = a²/4, hvilket er 1/4 af arealet af ABCD. Da højden er h/2, ser vi, at rumfanget V' af den nye pyramide er V' = V/8.

Pyramidestubben deles af yderligere to planer. De er begge parallelle med AS, den ene går gennem BC og den anden gennem CD. De afskærer en kasse, hvis sider er halvt så lange som a og højden er h/2, så dens rumfang V_k = a/2*a/2*h/2 = a²*h/8.

Resten af pyramidestubben er delt i to prismer og en pyramide, der er kongruent med den i toppen. Hvert af de to prismer har en trekantet grundflade med arealet ½*a/2*h/2 = a*h/8. Højden i prismerne er a/2, så hvert af dem har rumfanget V_p = a²*h/16.

Det samlede rumfang kan nu opskrives som V = V_k + 2V_p + 2V' = V_k + 2V_p + 2V/8 = a²*h/8 + 2*a²*h/16 + V/4

Heraf fås:

V-V/4 = a²*h/4

4V-V = a²*h

3V = a²*h

V = 1/3*a²*h

Hvis man i stedet for kvadratet benytter en retvinklet trekant som grundflade og stadig har AS vinkelret på grundfladen, kan man gentage beviset med en lidt anden opdeling.

Hvis AS ikke er vinkelret på grundfladen, vil der være et punkt T, så TS er vinkelret på grundfladen. Opdeles pyramiden af halvplaner, der har TS som kant og som går gennem de enkelte hjørner ABCD..., kan pyramiden opdeles i mindre pyramider med højden langs den ene kant.

Man kan på tilsvarende måde finde frem til formlen, når grundfladen er en ikkeretvinklet trekant.

Et andet bevis er vist i denne video.

https://www.youtube.com/watch?v=5StzaSBF9nY

Tak for hjælpen.

Hvad synes du/I om dette bevis: https://mathschallenge.net/index.php?section=faq&ref=geometry/volume_pyramid

Er det godt nok?

.