Matematik

Norm i funktional analyse

05. december 2017 af YesMe (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har svært ved at komme godt igang med den første opgave. Jeg er i tvivl om hvordan følgen (y_k⁽ⁿ⁾)_k skal forstås notationsmæssigt. Min forståelse er, at det er en følge, der har n forskellige former (følger). Den første delopgave, ville jeg begynde med at bestemme ||T_n(x)||², og etablere to uligheder (||T_n(x)|| ≤ og ≥) der ikke afhænger af x for at konkludere ||T_n||. Men det er jo der, jeg er gået i stå, da jeg ikke er kommet frem til noget som helst pga. udtrykket af T_n.

Tak for din tid.

Vedhæftet fil: Part1.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. december 2017 af fosfor (Slettet)

||T_n|| er det mindste positive c så |T_n(x)| ≤ c ||x||_p uafhængigt af x. Dvs. vælg x, så uligheden har det strammest. Vælg x_i = 0, når i ∉ [n, 2n], da højresiden minimeres, og venstresiden er uafhængig af disse.

Dermed har vi
|x_n + x_n+1 + ... + x_2n| ≤ c*(|x_n|^p + |x_n+1|^p + ... + |x_2n|^p)^1/p

For at uligheden får det strammest, så antag at x'erne har samme argument, da venstresiden dermed maximeres, og højresiden er uafhængig af x'ernes argumenter.

|x_n| + |x_n+1| + ... + |x_2n| ≤ c*(|x_n|^p + |x_n+1|^p + ... + |x_2n|^p)^1/p

Uligheden er uafhængig af skalering af x'erne med et og samme positive tal.
Skaler derfor x'erne så |x_n| + |x_n+1| + ... + |x_2n| = 1.

1 ≤ c*(|x_n|^p + |x_n+1|^p + ... + |x_2n|^p)^1/p

Tilbage er der at minimere højresiden givet |x_n| + |x_n+1| + ... + |x_2n| = 1. Dette opnås ved at lade alle absolutværdierne være ens: |x_n| = |x_n+1| = ... = |x_2n| = 1/(n+1)

1 ≤ c ((n+1)|x_n|^p)^1/p
1 ≤ c (n+1)^1/p^{- 1}
(n+1)^{1 - 1/p} ≤ c

Det mindste c der opfylder uligheden er altså c = ||T_n|| = (n+1)^{1 - 1/p}

Svar #2
07. december 2017 af YesMe (Slettet)

Der burde nok have været (n + 1)^{1/(1 - 1/p)}. Takker for den store hjælp! Har du mulighed for at hjælpe mig med b)? Notationen V* forstås som dualrummet til et vektorrum V, dvs. der antages at T_n også er kontinuert her.

Svar #3
08. december 2017 af YesMe (Slettet)

Sorry, min fejl, det burde have stået (n + 1)^{1 - 1/p}, som du skrev. Nu er det nemt at arbejde første punkt i b). Kan du godt hjælpe mig med det sidste punkt, hvor der står om eksistensen?

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. december 2017 af fosfor (Slettet)

Vælg f.eks.
$x=\left(\frac{\log(k)}{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$

Hvormed
$\\||x||_p = \sum_{k=1}^\infty|x_k|^p = \sum_{M=0}^\infty\sum_{k=2^M}^{2^{M+1}-1}|x_k|^p \\\text{ }\hspace{2.77cm} \leq \sum_{M=0}^\infty 2^M\underset{k\in[2^M,2^{M+1}-1]}{\max}|x_k|^p \\\text{ }\hspace{2.77cm} = \sum_{M=0}^\infty 2^M|x_{2^M}|^p \\\text{ }\hspace{2.77cm} = \sum_{M=0}^\infty 2^M\left(\frac{\log(2^M)}{2^M}\right)^p \\\text{ }\hspace{2.77cm} = \sum_{M=0}^\infty 2^M\frac{M^p\log(2)^p}{2^{Mp}} \\\text{ }\hspace{2.77cm} = \log(2)^p\sum_{M=0}^\infty \frac{M^p}{(2^{(p-1)})^M}<\infty$
Så $x$ ∈ $\small \ell$ _p( $\small \mathbb{N}$ ). Den sidste sum er domineret af en geometrisk konvergent
sum for M > M₀ hvor M₀ er endelig (afhængig af $\small p$ hvilket ikke gør noget).

Vi har
$\\|T_n(x)|=\sum_{k=n}^{2n}x_k\geq(2n-n+1)\underset{k\in[n,2n]}{\min}x_k \\\text{ }\hspace{2.735cm} = (2n-n+1)x_{2n} = (n+1)\frac{\log(2n)}{2n}=(1+n^{-1})\log(2n)/2 \\\text{ }\hspace{9.38cm} > \log(2n)/2$
som er ubegrænset mht. $n$ .

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. december 2017 af fosfor (Slettet)

Hov glemte p'te roden på alle .... i
||x||_p = ... ≤ ... = .............. < ∞

Skriv et svar til: Norm i funktional analyse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.