Matematik

Integrationsgrænserne ved omskrivning af selve integralet

15. januar 2018 af pure07 - Niveau: Universitet/Videregående

$y=t(x)\Rightarrow \frac{dy}{dx}=t'(x)\Leftrightarrow dx= \frac{1}{t'(x)}dy$

Jeg kigger så på integralet:

$\int_{a}^{b}f(x)dx$

som jeg kan omksrive til

$\int_{a_1}^{b_1}f(t^{-1}(y))\frac{1}{t'(x)}dy,$

Når jeg omskriver ingrealet som jeg gør på den måde. Hvordan ser mine ny integrationsgrænser ud (a1,b1) for at jeg kan sætte de to integraler lig med hinanden? I må meget gerne referere til "navnene" på de teorier som som bliver brugt så jeg kan søge mere info (helst engelske navne)

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar 2018 af peter lind

Det skal være "samme" grænser som for x men udtrykt ved t så da t(x) = y får du t(a) = a₁ . Generelt står det under integration ved substitution

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. januar 2018 af fosfor

Omskrivningen virker kun hvis t er injektiv, og x skal udtrykkes ved y
$\int_{a_1}^{b_1}f(t^{-1}(y))\frac{1}{t'(t^{-1}(y))}dy,$

t's billede når x løber over de oprindelige grænser er det nye integrationsområde, som ikke nødvendigvis er et interval

Svar #3
16. januar 2018 af pure07

Ok... Hvis vi antager at t er injektiv, så vil følgende i mit tilfælde gælde:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{t(a)}^{t(b)}f(t^{-1}(y)) \frac{1}{t'(t^{-1}(y))}dy$

Korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. januar 2018 af peter lind

t(x) skal være bijektiv for at du overhovedet kan foretage en substitution; men ellers er det korrekt.

Her er iøvrigt et simpelt eksempel som viser at man skal gøre det på den måde

Lad der være givet integralet ∫₀¹1dx Du bruger substitutionen y = 2*x dy = 2dx <=> dx=½dy, y(0) = 0, y(1) = 2 så du får ∫₀²1*½dy = ∫₀²½dy = 1.

Hvis du i stedet bruger y = x+b får du bare det hele forskudt langs x aksen. Se evt. på en graf med en vilkårlig funktion

Skriv et svar til: Integrationsgrænserne ved omskrivning af selve integralet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.