Matematik

Integration med kvadratrod

28. januar 2018 af Kbrondby - Niveau: A-niveau

Hej SP,

Jeg skal integere √(1-x²)

Jeg ved at jeg kan skrive √x = x^1/2

Hvordan skal jeg klare ovenstående?
Hvis jeg tager et led af gangen:

1 = 1x

-x² = -1/3 x³

Er facit så: 1x - 1/3x³?

Umiddelbart lyder det forkert.

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. januar 2018 af Sveppalyf (Slettet)

Mangler der ikke et eller andet? Et x foran kvadratrodstegnet eller noget? Ellers bliver det vist en meget kompliceret opgave.

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. januar 2018 af Mathias7878

$\small \sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2}\left(\arcsin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(x\right)\right)\right)+k$

ifølge

https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cint%20%5Csqrt%7B1-x%5E%7B2%7D%7D

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. januar 2018 af mathon

$\small \textup{s\ae t }$
$\small x=\sin\left ( \theta \right )$ $\small \textup{og dermed}$ $\small \mathrm{d}x=\cos(\theta )\mathrm{d}\theta$

$\small \int \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x=\int \sqrt{1-\sin^2(\theta )}\cdot \cos(\theta )\mathrm{d}\theta =\int \cos^2(\theta )\mathrm{d}\theta=\tfrac{1}{2}\cdot \int \left ( 1+\cos(2\theta ) \right )\mathrm{d}\theta=$

$\small \tfrac{1}{2}\cdot \left ( \theta +\tfrac{1}{2}\sin(2\theta ) \right )=\tfrac{1}{2}\cdot \left (\theta +\sin(\theta )\cdot \cos(\theta ) \right )=\tfrac{1}{2}\cdot \left ( \sin^{-1}(x)+x\cdot\sqrt{1-x^2} \right )$

Svar #4
28. januar 2018 af Kbrondby

#1
Mangler der ikke et eller andet? Et x foran kvadratrodstegnet eller noget? Ellers bliver det vist en meget kompliceret opgave.

Der står ikke noget i opgaven, men så kan der vel stå 2√(1-x^2) tænker jeg.

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. januar 2018 af Sveppalyf (Slettet)

Jeg synes opgaven smager lidt hen i retning af at man skal lave en substitution a la u = 1-x². Men det kræver at der står et x udenfor kvadratrodstegnet.

Men hvis opgaven står som du skriver, så er Mathons løsning rigtig. Jeg synes bare at det virker alt for kompliceret til en gymnasieopgave.

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. januar 2018 af mathon

$\small \textup{s\ae t }$
$\small x=\sin\left ( \theta \right )$ $\small \textup{og dermed}$ $\small \mathrm{d}x=\cos(\theta )\mathrm{d}\theta$

$\small \small \tfrac{1}{2}\cdot \left ( \theta +\tfrac{1}{2}\sin(2\theta ) \right )=\tfrac{1}{2}\cdot \left (\theta +\sin(\theta )\cdot \cos(\theta ) \right )=\tfrac{1}{2}\cdot \left ( \sin^{-1}(x)+x\cdot\sqrt{1-x^2} \right )+k$

Skriv et svar til: Integration med kvadratrod

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.