Matematik

Vektor og linjer

04. marts 2018 af PeRsEuSs - Niveau: A-niveau

Hej er der en der kan hjælpe med denne her opgave

En linje er givet ved ligningen y=2x-1/3

a) Bestem koordinaterne til en normalvektor til linjen

b) En anden linje er parallel med normalvektoren og går gennem punktet (1,2). Find en ligning for denne linje.

c) Undersøg om linjerne er orthogonale

Opgave a har jeg bestemt til at være n= $\binom{2}{-1}$ , da y=2x-1/3 => 0=-y+2x-1/3, men er det rigtigt? Og hvordan er metoden til at løse b og c opgaven? :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. marts 2018 af mathon

a)
         $\small y=2x-\tfrac{1}{3}$ $\small \textup{har retningsvektor}$ $\small \overrightarrow{r}=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\2 \end{smallmatrix}\bigr)$
$\small \textup{og dermed normalvektor }$
                                                                $\small \overrightarrow{n}=\widehat{\overrightarrow{r}}=\bigl(\begin{smallmatrix} -2\\1 \end{smallmatrix}\bigr)$

Brugbart svar (1)

Svar #2
04. marts 2018 af AMelev

En linje med normalvektor (a,b) gennem punktet P(x0,y0) har ligningen a(x -x0) + b(y - y0) = 0. hvilket kan omskrives til ax + by + c = 0.

a) Ja, det er rigtigt

b) Den anden linje har n som retningsvektor, da den er parallel med n. Tværvektoren til n er dermed normalvektor, og du kender et punkt, så det er bare at sætte ind i linjens ligning.

c) Virker lidt mærkelig, da besvarelsen af b) jo netop bygger på, at de er ortogonale - men altså ja (ellers er der lavet en fejl undervejs).

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. marts 2018 af mathon

b)
         $\small \textup{Den s\o gte linje har normalvektor lig retningsvektoren for den f\o rste linje}$
         $\small \textup{og dermed }$
                            $\small \textup{ligningen:}$
                                                 $\small \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-1\\y-2 \end{pmatrix}=0$

$\small 1\cdot (x-1)+2(y-2)=0$

$\small x-1+2y-4=0$

$\small x+2y-5=0$

$\small y=-\tfrac{1}{2}x+2{.}5$

Brugbart svar (1)

Svar #4
04. marts 2018 af mathon

c)
$\small \small \textup{Da produktet af linjernes h\ae ldningstal er }2\cdot \left ( -\tfrac{1}{2} \right )=\mathbf{\color{Red} -1},\textup{ er linjerne ortogonale.}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. marts 2018 af mathon

$\small \textup{detaljer:}$
$\small \textup{Er }\alpha \textup{ og }\beta \textup{ h\ae ldningskoefficienter for to ortogonale linjer, }$
$\small \textup{har disses retningsvektorer - som ogs\aa \ er ortogonale - produktet nul:}$

$\small \begin{pmatrix} 1\\\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\\beta \end{pmatrix}=0$

$\small 1\cdot 1+\alpha \cdot \beta =0$

$\small \alpha \cdot \beta =-1$

Svar #6
12. marts 2018 af PeRsEuSs

Tak for svaret mathon og AMelev. :) Det er en stor hjælp. :)

Skriv et svar til: Vektor og linjer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.