Matematik

Opgaver i rumgeometri

11. maj 2018 af PeRsEuSs (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej jeg har problemer med 2 opgaver, håber i kan vejlede og hjælpe ligesom som de forrige opgaver :)

Første opgave

Hvis man finder AB vektor, og laver en parameterfremstilling udfra den, hvorefter vi har en retningsvektor fra den nye linje og den linje vi kender. Kan man så ikke krydse begge retningsvektorer og finde ud af om deres krydsproduct giver nul, hvilket er kravet for parallitet.? :) Eller hvordan er metoden i dette tilfælde. ?

Anden opgave

I det her andet spørgsmål er jeg kørt helt fast.

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. maj 2018 af Eksperimentalfysikeren

Du kan ikke lave en parameterfremstilling for planen ud fra kun én vektor. Der skal to til.

Find to vektorer i planen og deres krydsprodukt. Så har du normalvektoren til planen. Du kan så finde skalarproduktet af den og retningsvektoren for linien. Hvis det er 0, er de to vektorer ortogonale, og dermed er linien parallel med planen. Brug normalvektoren og et af punkterne A,B eller C til at finde planens ligning. Indsæt så et punkt fra linien i denne ligning og se, om ligningen er opfyldt.

Brugbart svar (1)

Svar #2
12. maj 2018 af ringstedLC

Anden opg.: Ligning for plan β parallel med α gennem P:

$\begin{align*} \alpha&:3x-5y-2z+1=0\\ \beta_P&:3\cdot (-1)-5\cdot (3)-2\cdot (1)+d=0\Downarrow\;,\;P:(-1,3,1)\\ d&=20\Downarrow\\ \beta&:3x-5y-2z+20=0 \end{align}$

Parameterfremstilling for β:

$\begin{align*} z&=-\frac{20}{-2}-\frac{3}{-2}\cdot x+\frac{5}{-2}\cdot y\Downarrow\\ z&=10+1.5x-2.5y\\ x&=t\;,\;y=s\Downarrow\\ t=x&=0+1\cdot t+0+0\cdot s\\ s=y&=0+0\cdot t+0+1\cdot s\\ z&=10+1.5t-2.5s\\ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}& =\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1.5\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2.5\end{pmatrix} \end{align}$

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/planens-parameterfremstilling

Planens parameterfremstilling er et punkt og to retningsvektorer. Da alle linjer gennem P parallelle med α ligger i β må en af dem have en af disse retningsvektorer:

$\begin{align*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}& =\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1.5\end{pmatrix} \end{align}$

Svar #3
13. maj 2018 af PeRsEuSs (Slettet)

Tusind tak for jeres svar,

I første opgave har jeg -3x+y+5z+14=0

Jeg har fundet skalarproduktet for vektorene og de gav 0, men det sidste jeg skulle gøre var "Brug normalvektoren og et af punkterne A,B eller C til at finde planens ligning. Indsæt så et punkt fra linien i denne ligning og se, om ligningen er opfyldt."

Jeg har fundet frem til -3x+y+5z+14=0, men skal jeg så indsætte punktet fra linjen (3,1,-3) ved at sige -3*3+1*1+5*(-3)+14? men dette giver ikke nul, men -9?

Brugbart svar (1)

Svar #4
13. maj 2018 af ringstedLC

#1
Du kan ikke lave en parameterfremstilling for planen ud fra kun én vektor. Der skal to til.

Find to vektorer i planen og deres krydsprodukt. Så har du normalvektoren til planen. Du kan så finde skalarproduktet af den og retningsvektoren for linien. Hvis det er 0, er de to vektorer ortogonale, og dermed er linien parallel med planen. Brug normalvektoren og et af punkterne A,B eller C til at finde planens ligning. Indsæt så et punkt fra linien i denne ligning og se, om ligningen er opfyldt.

...Indsæt så et punkt fra linien i denne ligning og se, om ligningen er opfyldt.

Dine beregninger af vektorerne er rigtige. MEN, - det viser kun, at l og planen er parallelle. For at de ikke må være sammenfaldende (l ligger i planen) indsættes fx (3,1,-3) i planens ligning. Da det ikke giver 0, er l ikke sammenfaldende med planen, da alle punkter i planen jo netop opfylder ligningen.

Er den "anden opgave" klar?

Svar #5
13. maj 2018 af PeRsEuSs (Slettet)

Tak for det uddybende svar :), nu er jeg med.

Og jeg forstår godt den anden opgave, havde en opgave meget tilsvarende, hvilket jeg kunne løse via denne metode og dermed også illustere det i geogebra. Det gav mening hele vejen igennem. :)

Tusind tak for hjælpen :) og forklaringen.

Skriv et svar til: Opgaver i rumgeometri

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.