Matematik

Hjælp Matematik!

22. maj 2018 af kgsklo - Niveau: Universitet/Videregående

Kan nogle hjælpe med opgave a?
Har virkelig prøvet mange gange, men ligemeget hvad jeg kommer frem til, synes jeg der mangler noget.

Tak på forhånd

Vedhæftet fil: IMG_2888.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. maj 2018 af Anders521

Mht a) Hvad med at udtrykket "klemmes" mellem udtrykkene

$\frac{-1}{(x-n)^2}$ og $\frac{1}{(x-n)^2}$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. maj 2018 af Soeffi

#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1832754.

Svar #3
22. maj 2018 af kgsklo

#1 hvad skulle det hjælpe?

#2 der er ligesom en grund til at jeg har lavet et nyt opslag. Jeg har ikke fået hjælp til opgave a...

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. maj 2018 af SådanDa

"Hvad skulle det hjælpe?"

Hint: Klemme-lemmaet

https://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_theorem

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. maj 2018 af Soeffi

#0. a) Man skal vise, at for givet ε > 0 og x ∈ R, så eksisterer der et N, så |f_n(x)| < ε for n > N > 0. Man har for ε < 1 og n > x:

$\left | \frac{1}{(x-n)^2+1} \right |<\varepsilon \Rightarrow (x-n)^2>\frac{1}{\varepsilon}-1\Rightarrow \left | x-n \right |>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\Rightarrow$

$(x-n)<-\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\Rightarrow n>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}+x$

Dvs. N eksisterer og N = √[1/ε - 1] + x. Dermed er det bevist, at f_n konvergerer pumktvis mod nulfunktionen for n > N.

Svar #6
23. maj 2018 af kgsklo

Men når man skal vise "punktvis konvergens", skal det så ikke gælde for enhver x i R.
Hvis x=n, konvergerer den ikke mod nulfunktionen?

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. maj 2018 af guuoo2 (Slettet)

punktvis konvergens = et x ad gangen
uniform konvergens = alle x på en gang

Derfor gør det ikke noget i #5 at N afhænger af x.

Svar #8
23. maj 2018 af kgsklo

#7
Men betyder det sp, at denne definition ikke er rigtig af punktvis komvergens. Jeg kan nemlig ikke se hvordan den kan være rigtig samtidig med det du skriver :)

Og hvis mit vedlagte billede af definition er god nok, så er grænseværdien jo ikke nul, når x=n?

Vedhæftet fil:IMG_2912.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. maj 2018 af Soeffi

#8. Prøv at se på nedenstående link til Geogebra.

For et givet x og ε skal du finde et n, så den grønne kurve kommer under værdien af ε. Det betyder dog ikke at hele den grønne kurve er under ε - kun det punkt der ligger ved x.

https://ggbm.at/dHajZnnP

Svar #10
23. maj 2018 af kgsklo

Tusinde tak for hjælpen Soeffi!

I #5 forstår jeg ikke det skridt, hvor plus kvadratrod bliver til plus kvadratrod? Det kan ligne, at du har ganget med minus 1, men hvorfor ophæver det den numeriske?

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. maj 2018 af Soeffi

#10 Jeg har forkortet det lidt...

$\left | \frac{1}{(x-n)^2+1} \right |<\varepsilon \Rightarrow (x-n)^2>\frac{1}{\varepsilon}-1$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} \left | x-n \right |>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\;\wedge \;\varepsilon\leq 1 \\ \\n\in \mathbb{N} \;\wedge \;\varepsilon>1 \end{matrix}\right.$

...(anden linje: hvis ε > 1, så er 1/ε - 1 negativt, og derfor er (x - n)² > 1/ε - 1 opfyldt for alle n)...

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left ( x-n \right )>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\;\wedge \;\varepsilon\leq 1 \\ \\ \left ( x-n \right )<-\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\;\wedge \;\varepsilon\leq 1 \\ \\ n\in \mathbb{N} \;\wedge \;\varepsilon>1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} -n >\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}-x\;\wedge \;\varepsilon\leq 1 \\ \\ -n <-\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}-x\;\wedge \;\varepsilon\leq 1 \\ \\ n\in \mathbb{N} \;\wedge \;\varepsilon>1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} n <-\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}+x\;\wedge \;\varepsilon\leq 1 \\ \\ n >\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}+x\;\wedge \;\varepsilon\leq 1 \\ \\ n\in \mathbb{N} \;\wedge \;\varepsilon>1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow n>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}+x$

...dvs. vi ser kun på den mulighed, der tillader n at gå mod uendelig og ε at gå mod 0.

Skriv et svar til: Hjælp Matematik!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.