Matematik

f(x)=b*e^kx og den naturlige eksponentialfunktion

07. juni 2018 af lampepåbordet - Niveau: B-niveau

Hej!

Jeg er ved at klargøre mine synopsis til mundtlig matematik eksamen på B-niveau.

I en af dem skal jeg forklare om eksponentielle funktioner på formlen f(x)=b*e^kx, hvilket har forvirret mig en smule. Jeg har været inde og læse om det og er endt med at læse om den naturlige eksponentialfunktion, hvilket måske er rimeligt fornuftigt, men blot har forvirret mig endnu mere.

Lige nu ved jeg at med f(x)=e^x er tangentens hældning 1, men jeg kan ikke helt projektere den viden på f(x)=b*e^kx. Jeg ved ikke om det er påkrævet, at jeg skal kunne forklare dette.

Herudover ved jeg, at a^x=e^ln(a)x. Er det dette jeg burde fokusere på og så glemme alt om den naturlige eksponentialfunktion, eller er den stadigvæk relevant? For det føler jeg den er.

Hvis I har nogle gode forklaringer, links mv., så ville det hjælpe en del! Jeg har kigget på det i omkring en time :)

MVH. Stine - og rigtig god dag til jer alle!!

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. juni 2018 af mathon

$\small \small f(x)=b\cdot e^{kx}\; \; \; \; \; \; b>0\; \; \; \; e^{kx}>0$

$\small \textup{for }k>0\textup{ er f(x) voksende, da }f{\, }'(x)=k\cdot f(x)>0$
$\small \textup{for }k<0\textup{ er f(x) aftagende, da }f{\, }'(x)=k\cdot f(x)<0$

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. juni 2018 af AMelev

Du kan vha. potensreglen (aⁿ)^m = a^n·m omskrive f(x) = b·e^k·x til f(x) = b·(e^k)^x = b·a^x, hvor a = e^k.

Da du ved, at f '(x) = b·ln(a)·a^x, får du, at f '(x) = b·ln(a)·a^x = b·ln(e^k)·a^x = b·k·a^x = k·f(x)
ln(e^k) = k, da e^ og ln er hinandens inverse.

I x = 0 er hældningen af tangenten til grafen for f(x) = b·e^k·x derfor f '(0) = k·f(0) = b·k.

#0 NB!
Lige nu ved jeg at med f(x)=e^x er tangentens hældning 1 i x = 0 (kun der)

Var det noget i den stil, du var på jagt efter?

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. juni 2018 af Festino

Hvis det var mig, der skulle til eksamen, så ville jeg starte med at forklare, at en eksponentiel udvikling er en funktion af formen $f(x)=ba^x$ hvor $a$ og $b$ er positive konstanter. Derefter ville jeg forklare (som du selv er inde på), at der gælder $a^x=e^{x\ln(a)}=e^{\ln(a)\cdot x}$ (ifølge det udvidede potensbegreb), hvorfor

$f(x)=be^{kx}$

med $k=\ln(a)$ . Fordelen ved at skrive funktionen på formen $f(x)=be^{kx}$ er, at det nu er nemt at differentiere funktionen, så det vil jo være naturligt også at komme ind på dette.

Skriv et svar til: f(x)=b*e^kx og den naturlige eksponentialfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.