Matematik

Bestemte integraler.... delvis eller substitution?

27. august 2018 af Warrio - Niveau: A-niveau

Hej alle :)

Jeg har en opgave som jeg ikke kan se, hvordan man skal gør.

$\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}cos(x)sin^{2}(x)dx$

Hvilken metode er det jeg skal bruge her..... det er $sin^{2}(x)$ , som gør mig forvirret :(

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. august 2018 af mathon

brug substitutionen
$\small u=\sin(x)$

Svar #2
27. august 2018 af Warrio

skal jeg så sige

$\int_{g(0)}^{g(\frac{\pi }{6})}cos(x)u^2\frac{1}{-cos(x)}du=\int_{g(0)}^{g(\frac{\pi }{6})}-u^2du$ ..... Er det korrekt ?

Svar #3
27. august 2018 af Warrio

Hvorefter det så substitueres tilbage og bliver til.

$[sin^2(x)]^{\frac{\pi }{6}}_{0}=sin^2(\frac{\pi }{6})-sin^2(0)$

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. august 2018 af mathon

brug substitutionen
$\small u=\sin(x)$ og dermed $\small \mathrm{d}u=\cos(x)\mathrm{d}x$ og $\small \begin{matrix} \frac{\pi }{6}\\0 \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} \frac{1 }{2}\\0 \end{matrix}$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\cos(x)\cdot \left ( \sin(x) \right )^2\mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}} \left ( \sin(x) \right )^2\cos(x)\mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{1 }{2}} u ^2\mathrm{d} u=\left [ \tfrac{1}{3}u^3 \right ]_{0}^{\frac{1}{2}}=\tfrac{1}{3}\cdot \left ( \tfrac{1}{2} \right )^3-0=\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{24}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. august 2018 af janhaa

I=(1/3)*(1/8)=1/24

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. august 2018 af mathon

Tilbagesubstitution benyttes oftest kun ved beregning af ubestemte integraler.

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. august 2018 af mathon

...men hvis undervisningen
   forløber i følgende to trin:
   $\small \bullet\;\textup{ find f\o rst det ubestemte integrale}$
   $\small \bullet\;\textup{beregn derefter det bestemte integrale}$

$\small \textup{har du: }$
$\small \bullet\int_{0} \sin(x)^2\cdot \cos(x)\mathrm{d}x=\int u^2\mathrm{d}u=\tfrac{1}{3}u^3=\tfrac{1}{3}\left ( \sin(x) \right )^3$

$\small \bullet\int_{0}^{\frac{\pi }{6}} =\cos(x)\cdot \left ( \sin(x)^2 \right )\mathrm{d}x=\left [\tfrac{1}{3}\left ( \sin(x) \right )^3 \right ]_{0}^{\frac{\pi }{6}}=\tfrac{1}{3}\left ( \sin\left(\tfrac{\pi }{6}\right) \right )^3 -0=\tfrac{1}{3}\cdot \left ( \tfrac{1}{2} \right )^3=\tfrac{1}{24}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. august 2018 af mathon

integrale $\small \rightarrow$ integral

Skriv et svar til: Bestemte integraler.... delvis eller substitution?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.