Matematik

Bevis vedr. Borel, åben, lukket og kompakt mængde

09. september 2018 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

$\text{remark 3.5(iii): If }\mathfrak{F}\subseteq\mathfrak{G}\subseteq\mathfrak{A}\text{, then }\sigma(\mathfrak{F})\subseteq\sigma(\mathfrak{G})\subseteq\sigma(\mathfrak{A})$

B_k(x) er en kugle, med radius k og centrum x.

$\\ \mathbf{Theorem\ 3.7}\\ \text{Denote by }\mathfrak{O},\mathfrak{C}\text{ and }\mathfrak{K}\text{ the families of open, closed and compact}\\ \text{sets in }\mathbb{R}^n\text{. Then}\\ {\color{white}.}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)=\sigma(\mathfrak{O})=\sigma(\mathfrak{C})=\sigma(\mathfrak{K})$

Beviset løber sådan:

Siden kompakte mængder er lukkede, så har vi $\mathfrak{K}\subseteq\mathfrak{C}$ og ved remark 3.5(iii) $\sigma(\mathfrak{K})\subseteq\sigma(\mathfrak{C})$ . På den anden side, hvis $C\in\mathfrak{C}$ , da $C_k:=C\cap B_k(0)$ er lukket og begrænset og derfor $C_k\in \mathfrak{K}$ ..

DET NÆSTE FORSTÅR JEG IKKE.

Ved konstruktion $C=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}C_k$ , da er $\mathfrak{C}\subseteq\sigma(\mathfrak{K})$ og også $\sigma(\mathfrak{C})\subseteq\sigma(\mathfrak{K})$ ...

Jeg forstår ikke hvorfor inklusionen af de lukkede mængder og sigma algebraen genereret ved de kompakte mængder... Hvorfor er $\mathfrak{C}\subseteq\sigma(\mathfrak{K})$

Svar #1
09. september 2018 af Stats

Hov... C_k er netop kompakt. Og vi startede med at lade C være i den lukkede mængde. Så foreningerne af de kompakte mængder C_k er netop lig den lukkede mængde C. Og derfor gælder inklusionen?

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #2
09. september 2018 af Stats

Eller er det pga. definitionen af en sigma algebra...

$(C_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq\mathfrak{K}\Rightarrow \bigcup_{k\in\mathbb{N}}C_k\in\mathfrak{K}$

Som er det samme som $C\in\mathfrak{K}$ og derfor må der gælde $\mathfrak{C}\subseteq\sigma(\mathfrak{K})$

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. september 2018 af janhaa

what kind of math-course?

real analysis?

Brugbart svar (1)

Svar #4
09. september 2018 af guuoo2 (Slettet)

gælder fordi enhver lukket mængde kan skrives som en tællelig forening C = ∪ C_k af kompakte mængder. Foreningen (og dermed C) ligger i , da sigma-algebraer er lukkede under tællelig foreninger.

Skriv et svar til: Bevis vedr. Borel, åben, lukket og kompakt mængde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.