Matematik

Åbent interval og differentiabel funktion

22. september 2018 af dolittle - Niveau: A-niveau

I mine noter står, at en funktion f defineret på et åbent interval I er differentiabel i x_0, hvis

(f(x_0+h)-f(x_0))/h

har en grænseværdi for h gående mod 0. Jeg forstår ikke det med, at f skal være defineret på et åbent interval. Hvorfor det?


Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september 2018 af StoreNord

Grænseværdier bruger man jo netop når definitions-intervallet er åbent (eller halvåbent).
Forkert svar, måske.


Svar #2
22. september 2018 af dolittle

Men hvad så hvis man har en funktion, hvor definitionsmængden ikke er et åbent interval?


Brugbart svar (0)

Svar #3
22. september 2018 af StoreNord

-


Brugbart svar (1)

Svar #4
22. september 2018 af swpply (Slettet)

#2

Men hvad så hvis man har en funktion, hvor definitionsmængden ikke er et åbent interval?

Hvis du er givet en funktion f hvis definitionsmængde eksempelvis er det afsluttet interval [a,b] da kan du definere dens afledte på det åbne interval (a,b) såfremt af f^\prime er defineret for ethvert x\in(a,b).

Grunden til at du eksempelvis ikke kan definere den afledte i venstre endepunkt er fordi (Husk definitionen af den afledte i et punkt) at selvom at grænseværdien

                                                       \lim_{h\rightarrow0^-}\frac{f(a-h)- f(a)}{h}

måske eksitere, så er grænseværdien

                                                      \lim_{h\rightarrow0^+}\frac{f(a-h)- f(a)}{h}

ikke veldefineret eftersom at f(a-h) ikke er defineret for h>0.

Det du kan gøre i endepunkterne af eksempelvis et aflusttet interval eller en stykvis differentiabel funktion er at definere en højre hhv. venstre afledte (link).


Skriv et svar til: Åbent interval og differentiabel funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.