Matematik

Ulighed og vurdering

28. oktober 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg skal vælge N således

$\frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 3 } } + \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon, \quad \epsilon = 0,02$

Venstresiden i denne ulighed vurder jeg som følgende.

Først sætter jeg på fællesbrøkstreg:

$\frac { N+ 4 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon$

Jeg bruger så at

$\frac { 1 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \le \frac { N+ 4 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon \implies \frac { 1 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \le \varepsilon$

Jeg isolerer så N i følgende:

$\frac { 1 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \le \varepsilon$

jeg får så det forkerte resultat for N. Hvad er det jeg gør galt i min vurdering?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2018 af StoreNord

I din 2. ligning skal tælleren være: (N+1)+1

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. oktober 2018 af StoreNord

Jeg har fået det her. Jeg håber du kan bruge det til noget: Ulighed og vurdering.png

Vedhæftet fil:Ulighed og vurdering.png

Svar #3
28. oktober 2018 af anonym000

Jeg har stadig ikke fundet ud af hvorfor min vurdering er forkert.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. oktober 2018 af StoreNord

$\frac { N+ 4 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon$ skulle være $\frac { (N+1)+1 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon$

Svar #5
28. oktober 2018 af anonym000

#4
$\frac { N+ 4 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon$ skulle være $\frac { (N+1)+1 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon$

Nej, den del er rigtig nok :-)

Prøv at regn efter.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. oktober 2018 af StoreNord

?
Senere. Om en times tid.

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. oktober 2018 af SådanDa

Skal du blot finde et N så uligheden holder (sådan fremgår det af #0) eller skal du finde det mindste N så uligheden holder eller noget i den stil?

Svar #8
28. oktober 2018 af anonym000

Ja til "skal du finde det mindste N så uligheden holder eller noget i den stil?" :D

Jeg antog lidt at folk som svaret på dette indlæg selv vidste hvor uligheden kom fra. Det kommer fra estimering af summen for

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 4 } }$

med en fejl som ikke overstiger 0,02, dvs

$\sum _ { n = N+1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \le \varepsilon = 0,02$

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. oktober 2018 af SådanDa

Så du leder efter et positivt heltal, hvad med bare at prøve sig frem? Jeg mener det er jo en fjerdegradsligning der skal løses, det er ikke ret sjovt, men det er nemt at se at uligheden gælder for N=3 men ikke for N=2.

Svar #10
28. oktober 2018 af anonym000

#9 Så du leder efter et positivt heltal, hvad med bare at prøve sig frem? Jeg mener det er jo en fjerdegradsligning der skal løses, det er ikke ret sjovt, men det er nemt at se at uligheden gælder for N=3 men ikke for N=2.

Jep, det er jeg med på, men jeg vil gerne lære at jonglere med uligheder og kunne simplificere dem når jeg skal finde N.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. oktober 2018 af StoreNord

$\frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 3 } } + \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon, \quad \epsilon = 0,02$

På venstre side skal vi forlænge den første brøk med N+1 og den anden med 3 for at få en fælles nævner:
$\frac { 1(N+1) } {3 ( N + 1 ) ^ { 4} } + \frac { 3 } {3 ( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon, \quad \epsilon = 0,02$ ganger hele ligningen med 3
$\frac { 1(N+1) } { ( N + 1 ) ^ { 4} } + \frac { 3 } { ( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq 3\varepsilon, \quad \epsilon = 0,02$
$\frac { (N+1) } { ( N + 1 ) ^ { 4} } + \frac { 3 } { ( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq 3\varepsilon, \quad \epsilon = 0,02$
$\frac { (N+1)+3 } {3 ( N + 1 ) ^ { 4} } \leq \varepsilon, \quad \epsilon = 0,02$
$\frac { N+4 } {3 ( N + 1 ) ^ { 4} } \leq \varepsilon, \quad \epsilon = 0,02$ så du havde jo ret.

Brugbart svar (0)

Svar #12
28. oktober 2018 af StoreNord

-Ups fejl igen

Vedhæftet fil:Ulighed og vurdering.png

Brugbart svar (0)

Svar #13
29. oktober 2018 af StoreNord

$\\\frac { N+ 4 } { 3( N + 1 ) ^ { 4 } } \leq \varepsilon\Leftrightarrow$

$\\ N+4 \leq 3 \varepsilon (N+1)^{4} \Leftrightarrow \\ N+4 \leq 3 \varepsilon (N^{2}+1+2N)\cdot (N^{2}+1+2N) \Leftrightarrow \\ N+4 \leq 3 \varepsilon (N^{4}+N^{2}+2N^{3}+N^{2}+1+2N+2N^{3}+2N+4N^{2}) \Leftrightarrow \\3\varepsilon N^{4}+12 \varepsilon N^{3}+18\varepsilon N^{2}+(12\varepsilon -1)N+(3\varepsilon -4)$
Ulighed og vurdering.png

Vedhæftet fil:Ulighed og vurdering.png

Brugbart svar (0)

Svar #14
29. oktober 2018 af peter lind

Du kan erstatte (N+1)^-4 med (N+1)^-3 som er større: så får du

(N+1)^-3/3+(N+1)^-4 <(N+1)^-3/3+(N+1)^-3 = 4(N+1)^-3/3<ε

Hvilken giver en nemmere beregning

Hvordan har du fået uligheden. Mig forekommer den ikke at stemme med ∑n^-4

Svar #15
30. oktober 2018 af anonym000

#14
Du kan erstatte (N+1)^-4 med (N+1)^-3 som er større: så får du

(N+1)^-3/3+(N+1)^-4 <(N+1)^-3/3+(N+1)^-3 = 4(N+1)^-3/3<ε

Hvilken giver en nemmere beregning

Hvordan har du fået uligheden. Mig forekommer den ikke at stemme med ∑n^-4

Det er Eksempel 4.36 i den vedhæftet bog.

- - -

...............

Vedhæftet fil:01037lb uredigeret.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #16
30. oktober 2018 af peter lind

tak

Her er en anden metode der også giver en vurdering af usikkerheden og en strammere vurdering end #14

Da f(x) er en aftagende funktion gælder der at ∫_iⁱ⁺¹f(x)dx < f(i) < ∫_i+1ⁱ⁺²f(x)dx

og dermed da ∑_i^∞∫_iⁱ⁺¹f(x)dx=∫_i^∞f(ix

∫_i^∞f⁽x)< ∑_i^∞f(i)<∫_i+1^∞f(x)dx eller

eller hvis F(x) er en stamfunktion til f

-F(i)<∑₁^∞f(i)<-F(i+1)

for din funktion får du da f(x)=x^-4 at

(N+1)^-3/3 < ∑_N+1^∞n^-4<(N+2)^-3/3

Svar #17
30. oktober 2018 af anonym000

Okay, tak.

Det jeg har mest svært ved at finde den mindste N som giver en forskel på højest 0,01.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #18
30. oktober 2018 af peter lind

Du kan løse ligningen 1/(N+2)³/3 < 0,01

Svar #19
30. oktober 2018 af anonym000

Så når jeg skal finde den mindste N så skal jeg ikke løs en nemmere ulighed men faktisk den jeg stiller op? ikke?

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #20
30. oktober 2018 af peter lind

Du kan løse uligheden i #0, #4 eller #6. De to sidste er de nemmeste; men så må du til gengæld også have nogen nogen tekst med forklaring. Du kan selvfølgelig også bruge et CAS værktøj

Forrige 1 2 Næste

Der er 27 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.