Matematik

Injektive funktioner

02. december 2018 af Ryder - Niveau: B-niveau

Hej derude,

Jeg skal finde om disse følgende ligninger er injektive. Men har ingen ide om hvordan jeg skal gøre det, da jeg er rimelig lost- Derfor håbede jeg om nogle af jer derude kunne forklare mig det.

f(x) 1/5x+3

f(x)=2x-3

f(x)= 1/x

Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2018 af MatHFlærer

De alle er injektive. Dvs. der skal gælde:

$x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

Du kan nemt vise at en funktion er injektiv ved at løse ligningen

$f(x_1)=f(x_2)$ og får du resultatet $x_1=x_2$ så har du vist den er injektiv.

Svar #2
03. december 2018 af Ryder

#1
De alle er injektive. Dvs. der skal gælde:

$x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

Du kan nemt vise at en funktion er injektiv ved at løse ligningen

$f(x_1)=f(x_2)$ og får du resultatet $x_1=x_2$ så har du vist den er injektiv.

Hej tak for svaret, men er stadig lidt lost over hvordan man laver ligningerne om

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. december 2018 af MatHFlærer

$f(x)=\frac{1}{5}x+3$

Er $f$ injektiv? Ja! Hvorfor? Brug det jeg skrev i #1 og se her:

$f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow \frac{1}{5}x_1+3=\frac{1}{5}x_2+3 \Leftrightarrow \frac{1}{5}x_1+3-3=\frac{1}{5}x_2+3-3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{5}x_1=\frac{1}{5}x_2\Leftrightarrow 5\cdot \frac{1}{5}x_1=5\cdot \frac{1}{5}x_2 \Leftrightarrow x_1=x_2$

Som vi vil vise. Prøv med de andre. :)

Svar #4
04. december 2018 af Ryder

#3
$f(x)=\frac{1}{5}x+3$

Er $f$ injektiv? Ja! Hvorfor? Brug det jeg skrev i #1 og se her:

$f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow \frac{1}{5}x_1+3=\frac{1}{5}x_2+3 \Leftrightarrow \frac{1}{5}x_1+3-3=\frac{1}{5}x_2+3-3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{5}x_1=\frac{1}{5}x_2\Leftrightarrow 5\cdot \frac{1}{5}x_1=5\cdot \frac{1}{5}x_2 \Leftrightarrow x_1=x_2$

Som vi vil vise. Prøv med de andre. :)

Kan det her så godt passe?
(2) f(x)= y=1/5x+3 fik jeg til f^-1(x) = 5y-15
(3) f(x)= 2x-3 fik jeg til f^-1 (x) = 2y+6.

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. december 2018 af MatHFlærer

Vi ser på $f(x)=2x-3$ . Den er både injektiv og surjektiv hvilket vil sige, at den er bijektiv.

Den er injektiv fordi den opfylder, at uanset hvilket tal $x$ vi indsætter, så får vi altid en unik værdi af $y$ .

Den er surjektiv, fordi både domænet og codomænet har samme "størrelse", dvs. vi kan ikke få en ligning der ikke er mulig at løse.

Derudover kan vi også finde et invers til $f(x)$ , dvs. $f^{-1}(x)$ . Vi får

$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$

Et eksempel på en funktion der er hverken injektiv og surjektiv er $g(x)=x^2$ fordi

1. Den er ikke injektiv, da $g(-2)=g(2)=4$ , så det går galt.

2. Den er ikke surjektiv, da vi ikke kan løse $g(x)=-1$ .

Så klart er den heller ikke bijektiv, og der findes ingen invers. MEN! Giver vi den restriktioner som f.eks. x>0 og y>0, så er den bijektiv. Tænk over det.

Skriv et svar til: Injektive funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.