Matematik

Bestemmelse af en tangents ligning - opgave

16. december 2018 af Carolinenielsenn - Niveau: B-niveau

Sidder med en opgave i min aflevering, jeg finder meget svær at gennemskue:

a/ bestem en ligning for den vandrette tangent til grafen for funktionen f(x)=1/(x^2+x+1)

b/ Undersøg, om grafen for funktionen f(x)=(x+1)/(x+2) har en vandret tangent

Nogle der kan hjælpe? Evt med tilhørende forklaring til svaret

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. december 2018 af ringstedLC

a/: Når en tangent til en funktions graf skal være vandret, må dens hældning a være 0. Hældningen er også differentialkvotienten af funktionen i røringspunktet for tangenten:

$\begin{align*} f(x) &= \frac{1}{x^2+x+1}\Downarrow \\ f'(x) &= \frac{-2x-1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1} \end{align*}$

og fordi a og f'(x) skal være 0:

$\begin{align*} f'(x) = 0 &= \frac{-2x-1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}\Downarrow \\ x &= -\tfrac{1}{2} \end{align*}$ (Beregnet med CAS)

Tangenten rører altså grafen for f i punktet (-½, f(-½)):

$\begin{align*} f\left ( -\tfrac{1}{2} \right ) &= \frac{1}{\left ( -\tfrac{1}{2} \right )^2-\tfrac{1}{2}+1} = \tfrac{4}{3}\Downarrow \\ R\o ringspunkt&:\left ( -\tfrac{1}{2},\;\tfrac{4}{3} \right ) \end{align*}$

Da tangenten er vandret er y-værdien af røringspunktet den samme som b-værdien i tangentens ligning:

$\begin{align*} y &= a\cdot x+b \\ y &= 0\cdot x+\tfrac{4}{3}\Downarrow \\ y &= \tfrac{4}{3} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. december 2018 af ringstedLC

b/: Her skal det undersøges om funktionen har en vandret tangent. Altså:

$\begin{align*} f(x) &= \frac{x+1}{x+2}\,,\;x\neq-2\Downarrow \\ f'(x) &= \frac{1}{x^2+4x+4} = 0 \\ x^2+4x+4 &\geq 0\Rightarrow \frac{1}{x^2+4x+4} > 0 \end{align*}$

Funktionen har ikke nogen vandret tangent.

Skriv et svar til: Bestemmelse af en tangents ligning - opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.