Matematik

En andengradslignings geometri, u3, d1, 9.c.

07. januar 2019 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Det er opg. 9.c. i https://01005.compute.dtu.dk/EU03S-OPG#9

Jeg kunne godt tænke mig et hint.

Mvh.

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. januar 2019 af oppenede

Koefficienterne er reelle så rødderne er komplekst konjugerede

Derfor har forskriften for Q formen
(z - (a + ib)) (z - (a - ib))
som ganger ud til
z² - 2az + a² + b²

Dvs. c = -2a
og 25 = a² + b², dvs. røddernes absolutværdi er 5.

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. januar 2019 af swpply (Slettet)

Hint, begynd med

$\begin{align*} Q(z) = 0 \quad&\Leftrightarrow\quad z^2 + cz + 25 = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad w^2 = -r \end{align*}$

hvor

$\begin{align*} w = z + \frac{b}{2} \quad\text{og}\quad r=\frac{100-c^2}{4}.\end{align*}$

Observer nu at

$\begin{align*} c \in[-10,10] \quad\Rightarrow\quad r \in[0,25] \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} w = \pm i\sqrt{r} \end{align*}$

og dermed har vi at

$\begin{align*} z = \frac{-c}{2} \pm i\frac{\sqrt{100-c^2}}{2} \end{align*}$

hvilket implicere at

$\begin{align*} \vert z\vert^2 &= \bigg(\frac{-c}{2}\bigg)^2 + \bigg(\pm \frac{\sqrt{100-c^2}}{2}\bigg)^2 \\ &= 25 \\ &\Updownarrow \\ \vert z\vert &= 5 \\ &\Updownarrow \\ z&\in S \end{align*}$

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Løsningen givet af oppenede i #1 er langt mere elegant, brug derfor istedet den.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. januar 2019 af oppenede

#1 Forskriften for Q har kun den angivne form med reelle a og b,
hvis d ≤ 0, hvilket antagelsen c ∈ [-10, 10] dog sikrer.

Svar #4
07. januar 2019 af anonym000

#1
Koefficienterne er reelle så rødderne er komplekst konjugerede

Derfor har forskriften for Q formen
(z - (a + ib)) (z - (a - ib))
som ganger ud til
z² - 2az + a² + b²

Dvs. c = -2a
og 25 = a² + b², dvs. røddernes absolutværdi er 5.

Da $-5 \le a \le 5$ så betyder det at $-10 \le c \le 10$ .

Det havde jeg også gjort... men jeg havde så lavet en pinlig fejl ved faktoriseringen :D

Tak

- - -

...............

Svar #5
07. januar 2019 af anonym000

#2
Hint, begynd med

   $\begin{align*} Q(z) = 0 \quad&\Leftrightarrow\quad z^2 + cz + 25 = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad w^2 = -r \end{align*}$

hvor

    $\begin{align*} w = z + \frac{b}{2} \quad\text{og}\quad r=\frac{100-c^2}{4}.\end{align*}$

Observer nu at

   $\begin{align*} c \in[-10,10] \quad\Rightarrow\quad r \in[0,25] \end{align*}$

hvorfor at

   $\begin{align*} w = \pm i\sqrt{r} \end{align*}$

og dermed har vi at

$\begin{align*} z = \frac{-c}{2} \pm i\frac{\sqrt{100-c^2}}{2} \end{align*}$

hvilket implicere at

   $\begin{align*} \vert z\vert^2 &= \bigg(\frac{-c}{2}\bigg)^2 + \bigg(\pm \frac{\sqrt{100-c^2}}{2}\bigg)^2 \\ &= 25 \\ &\Updownarrow \\ \vert z\vert &= 5 \\ &\Updownarrow \\ z&\in S \end{align*}$

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Løsningen givet af oppenede i #1 er langt mere elegant, brug derfor istedet den.

Den her metode giver også god mening. Ideen fik jeg ikke selv.

- - -

...............

Skriv et svar til: En andengradslignings geometri, u3, d1, 9.c.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.