Matematik

Vektorer i rummet - beregn areal af firkant

11. januar 2019 af helpn - Niveau: A-niveau

$\square ABCD$ er udspændt af punkterne A(5,-1,0), B(10,-2,3), C(12,-4,-1), D(7,-3,-4).

Beregn arealet af firkanten.

Nogen der kan hjælpe med denne opgave?

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. januar 2019 af mathon

Tegn en diagonal og beregn længden af denne samt længden af alle fire sider.

Firkantens areal er lig med summen af de to trekanters arealer, som hver især beregnes med Herons formel

evt med en vinkelberegning efterfulgt af "den halve ab(el)sin-formel.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. januar 2019 af AMelev

Alternativ til beregning af trekanternes areal:
Areal af trekant ABC = ½| $\overrightarrow{AB}$ x $\overrightarrow{AC}$ | og tilsvarende for trekant ADC.

Bem. Det kan måske være problematisk at benytte Herons formel, hvis I ikke har beskæftiget jer med den i undervisningen.

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. januar 2019 af mathon

...som med metoden i #2
giver:
$\small \textup{Areal}_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \left | \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} \right |+\frac{1}{2}\cdot \left | \overrightarrow{CB}\times\overrightarrow{CD} \right |$

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 10-5\\-2 -(-1) \\3-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\-1 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix} 7-5\\-3 -(-1) \\-4-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\-2 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix} 10\\26 \\ -8 \end{pmatrix}$
$\tfrac{1}{2}\cdot \left |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} \right |=\tfrac{1}{2}\cdot \sqrt{10^2+26^2+(-8)^2}=\tfrac{1}{2}\cdot \left (2\cdot \sqrt{210} \right )=\sqrt{210}$

$\overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix} 10-12\\-2 -(-4) \\3-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix} 7-12\\-3 -(-4) \\-4-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\1 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{CB}\times \overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix} -10\\-26 \\ 8 \end{pmatrix}$
$\tfrac{1}{2}\cdot \left |\overrightarrow{CB}\times \overrightarrow{CD} \right |=\tfrac{1}{2}\cdot \sqrt{(-10)^2+(-26)^2+8^2}=\tfrac{1}{2}\cdot \left (2\cdot \sqrt{210} \right )=\sqrt{210}$

$\small \textup{Areal}_{ABCD}=\sqrt{210}+\sqrt{210}=2\sqrt{210}$

Skriv et svar til: Vektorer i rummet - beregn areal af firkant

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.