Matematik

Kurve i rummet

11. januar 2019 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har:

$x= ln(t)$

$y=\sqrt{2}t$

$z=\frac{1}{2}t^2$

Jeg skal bestemme udtrykket for farten v(t). Jeg har bestemt x', y' og z'til:

$x'=\frac{1}{t}$

$y'=\sqrt{2}$

$z'=t$

Dvs.

$\left | v(t) \right |=\sqrt{(\frac{1}{t})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+t^{2}}=\sqrt{\frac{1}{t^{2}}+2+t^2}$

Det er ikke nok reduceret. Hvordan kan jeg reducere det mere?

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

Brug at

$\frac{1}{t^2}+2+t^2 = \frac{1}{t^2}(1+2t^2+t^4) = \frac{1}{t^2}(1+t^2)^2$

hvorfor at

$\sqrt{\frac{1}{t^2}+2+t^2} = \frac{1+t^2}{t} = \frac{1}{t}+t$

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. januar 2019 af oppenede

$\frac{1}{|t|}+|t|=\left|\frac{1}{t}+t\right|$
hvis t både kan være positiv og negativ.

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. januar 2019 af mathon

$\small \left | v(t) \right |=\sqrt{\frac{1+2t^2+t^4}{t^2}}=\sqrt{\frac{(t^2+1)^2}{t^2}}=\frac{t^2+1}{t}=t+\tfrac{1}{t}$

Svar #4
11. januar 2019 af Warrio

Hvordan blev t² til t i nævneren. kvadratroden blev opløftet med parantesen der var i anden, ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

#4
#1 og #3

(t²+1)² / t² ikke? men bliver kvadratroden også opløftet af dette?

Nej, det er noget vås det du skriver. Hvordan skal det nogen sinde være sandt at

(1) $\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{t^2+1}{t}$

idet at der i almindelighed gælder at

(2) $\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{(t^2+1)(t^2+1)}{t\cdot t}$

hvilket giver at (1) er sand såfremt at

(3) $\frac{t^2+1}{t} = 1$

hvilket er ækvivalent til

(4) $t^2 - t +1 = 0$

for $t\neq0$ og da ovenstående andengradsligning har diskriminanten $D = 1-4 = -3$ er det altså aldrig sandt (eftersom at $t\in M\subseteq\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ) at (som du påstår) at (1) er gyldig.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

Du har at

$\sqrt{\frac{(t^2+1)^2}{t^2}} = \sqrt{\bigg(\frac{t^2+1}{t}\bigg)^2} = \frac{t^2+1}{t}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

#2
$\frac{1}{|t|}+|t|=\left|\frac{1}{t}+t\right|$
hvis t både kan være positiv og negativ.

Det er selvfølgelig rigtig.

Svar #8
11. januar 2019 af Warrio

#5
#4
#1 og #3

(t²+1)² / t² ikke? men bliver kvadratroden også opløftet af dette?

Nej, det er noget vås det du skriver. Hvordan skal det nogen sinde være sandt at

(1) $\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{t^2+1}{t}$

idet at der i almindelighed gælder at

(2) $\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{(t^2+1)(t^2+1)}{t\cdot t}$

hvilket giver at (1) er sand såfremt at

(3) $\frac{t^2+1}{t} = 1$

hvilket er ækvivalent til

(4) $t^2 - t +1 = 0$

for $t\neq0$ og da ovenstående andengradsligning har diskriminanten $D = 1-4 = -3$ er det altså aldrig sandt (eftersom at $t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ) at (som du påstår) at (1) er gyldig.

Ja jeg også, at det var helt forkert det jeg sagde, derfor slettede jeg det hurtigt XD

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. januar 2019 af oppenede

$\sqrt{\frac{1}{t^{2}}+2+t^2}=\sqrt{t^{-2}+2t^{-1}t+t^2}= \sqrt{(t^{-1}+t)^2}=|t^{-1}+t|$

Svar #10
11. januar 2019 af Warrio

#6
Du har at

$\sqrt{\frac{(t^2+1)^2}{t^2}} = \sqrt{\bigg(\frac{t^2+1}{t}\bigg)^2} = \frac{t^2+1}{t}$

Ja det kom jeg også frem til, efter at have kigget på det noget mere.

Svar #11
11. januar 2019 af Warrio

Tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Kurve i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.