Matematik

Rødder i andengradspolynomier

27. januar 2019 af MajaXm - Niveau: B-niveau

Hej, jeg har fået stillet følgende opgave:

Betsem for alle værdier af k, hvor mange rødder andengradspolynomiet F(x)=kx^2+(k-3)+1 har

Problemet ligger i at jeg skal bestemme det for "alle værdier af k"

Tak på forhånd :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. januar 2019 af StoreNord

Mangler der ikke et x-led?

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. januar 2019 af oppenede

Rødderne for
F(x) = kx²+(k-3)x+1
er de x-værdier der løser
0 = kx²+(k-3)x+1
som er en andengradsligning mht. x på formen ax²+bx+c = 0 med
a = k
b = k-3
c = 1

Antallet af løsninger kan afgøres ud fra diskriminanten:
d = b² - 4ac = (k-3)² - 4k·1
= k² - 10k + 9

Der er 1 løsning hvis
k² - 10k + 9 = 0 => k = 1 eller k = 9
og grenene for denne andengradsligning går opad, dvs. når k ligger mellem rødderne 1 < k < 9, så er der 0 løsninger, og når k ligger længere ude end rødderne (k < 1 eller k > 9) så er der 2 løsninger.

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. januar 2019 af ringstedLC

#2: Når det antages, at opgaven lyder:

$\begin{align*} F(x) &= kx^2+(k-3)x+1 \\k<0&\Rightarrow 2\;l\o sninger \\ k=0&\Rightarrow 1\;l\o sning,\;F(x)\;er\;et\;1.\;gradspolynomium \\ 0<k<1&\Rightarrow 2\;l\o sninger \\ k=1\vee k=9&\Rightarrow 1\;l\o sning \\ 1<k<9&\Rightarrow 0\;l\o sninger \\ k>9&\Rightarrow 2\;l\o sninger \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. januar 2019 af ringstedLC

... og hvis opgaven lyder som i #0:

$\begin{align*} F(x) &= kx^2+(k-3)+1 \\ a &= k\;,\;b=0\;,\;c=(k-3)+1=k-2 \\ d &= -4k\cdot (k-2)=-4k^2+8k \\ k = 2&\vee k=0\Rightarrow d=0 \\ k<0&\Rightarrow 0\;l\o sninger \\ k=0&\Rightarrow 1\;l\o sning,\;F(x)\;er\;et\;1.\;gradspolynomium \\ k=2&\Rightarrow 1\;l\o sning \\ 0<k<2&\Rightarrow 2\;l\o sninger \\ k>2&\Rightarrow 0\;l\o sninger \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. januar 2019 af oppenede

Sorry #2 er vrøvl

Svar #6
06. februar 2019 af MajaXm

#3
#2: Når det antages, at opgaven lyder:

Det er sådan opgaven er formuleret, men hvordan kommer du frem til de forskellige værdier?

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. februar 2019 af ringstedLC

Start med som i #4 at bestemme a, b og c. Disse indsættes så i diskriminantligningen:

$\begin{align*} a=k\;,\;b=k-3\;,\;c &= 1 \\ d &= b^2-4ac \\ d &= (k-3)^2-4k+1 \\ d=0 &= k^2-10k+10 \\ k &= 5\pm\sqrt{15} \\ d=0&\Leftrightarrow k=\;?\vee k=\;? \\ d>0&\Leftrightarrow k<\;?\vee k>\;? \\ d<0&\Leftrightarrow k<\;?\vee k>\;? \end{align*}$

hvor fortegnet af d afgør antallet af rødder til funktionen. Brug så den samme fremgangsmåde som i #4.

Skriv et svar til: Rødder i andengradspolynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.