Matematik

logistisk vækst

02. februar 2019 af simbouka - Niveau: A-niveau

Jeg sidder med denne opgave : Se vedlagte fil.

Mit problem er at jeg ikke kan finde ud af at finde "c" i formlen M/1+c*e^-km*t

M=66750

km=2712987

Jeg har facit og der er "c" 44,3, men hvordan kommer jeg frem til det?

På forhånd tak :-)

Vedhæftet fil: skarven.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. februar 2019 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. februar 2019 af peter lind

formlen hedder ikke M/1+c*e^-km*t men M/(1+c*e^-km*t)

Du sætter N(14) = 33500 = M/(1+c*e^-km*14)

Svar #3
03. februar 2019 af simbouka

tak for svar peter Lind.

Det prøver jeg.

Lige et ekstra spørgsmål.

I spørgsmål b) er det så 63000/(1+44,3*e^-2712987*t) ?

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. februar 2019 af mathon

a)
$\small \small N(t)=\frac{66750}{1+C\cdot e^{-0,271287\cdot t}}\qquad\qquad4.0644\cdot 10^{-6}\cdot 66750=0.2712987$

$\small N(14)=\frac{66750}{1+C\cdot e^{-0,2712987\cdot 14}}=33500$

$\small 1+C\cdot e^{-3.7981818}=\tfrac{66750}{33500}=\tfrac{267}{134}$

$\small C\cdot e^{-3.7981818}=\tfrac{267-134}{134}=\tfrac{133}{134}$

$\small C=\tfrac{133}{134}\cdot e^{3.7981818}=44.287$

$\small N(t)=\frac{66750}{1+44.287\cdot e^{-0,271\cdot t}}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. februar 2019 af mathon

b)
$\small 1+44.287\cdot e^{-0,271\cdot t}=\tfrac{66750}{63000}=\tfrac{89}{84}$

$\small 44.287\cdot e^{-0,271\cdot t}=\tfrac{89-84}{84}=\tfrac{5}{84}$

$\small e^{-0,271\cdot t}=\tfrac{5}{84\cdot 44.287}$

$\small e^{0,271\cdot t}=\tfrac{84\cdot 44.287}{5}$

$\small 0,271\cdot t=\ln\left (\tfrac{84\cdot 44.287}{5} \right )=6.6121$

$\small t=\tfrac{6.6121}{0,271}=24.4$

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. februar 2019 af mathon

c)
$\small \small \small \textup{Maksimal v\ae ksthastighed er n\aa r }N=\tfrac{M}{2}=\tfrac{66750}{2}=33375$

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. februar 2019 af mathon

d)
$\small \small 66750\qquad\textup{er b\ae reevnen.}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. februar 2019 af mathon

detaljer til #6

Den maksimale væksthastighed findes ved at differentiere $\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}$ og sætte lig med nul:

$\small \frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=a\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot \left ( M-N \right )+a\cdot N\cdot \left ( -\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} \right )=0\qquad 0<N<M\quad \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}>0$

$\small \frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=a\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot \left ( M-2N \right )=0$

dvs
$\small N=\tfrac{M}{2}$

Svar #9
03. februar 2019 af simbouka

1000 tak Mathon for de uddybende svar.

Skriv et svar til: logistisk vækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.