Matematik

cos ligning

10. april 2019 af Ryder - Niveau: B-niveau

Hej derude

Jeg skal lave følgende opgave som jeg har vedhæftet.

Jeg har løst opgaven, hvor jeg så ender med en 2gradsligning, efter jeg har fundet de to resultater, bruger jeg inverse cos til at finde ud af det. Problemet er dog at min lommeregner siger at der er fejl ved invcos(1,5868) mens den sagtens kan regne invcos(-0,4201)

Håber I kan hjælpe

Tak på forhånd!

-Ryder

Vedhæftet fil: Udklip2.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Funktionerne sin og cos kan antage værdier i intervallet [-1;1]. Det bevirker, at deres inverse kun er definerede i dette interval og 1,5868 ligger udenfor intervallet. Der er altså ingen løsning her. Derimod ligger -0,4201 i intervallet, så her er der en løsning.


Svar #2
11. april 2019 af Ryder

Mange tak

#1

Funktionerne sin og cos kan antage værdier i intervallet [-1;1]. Det bevirker, at deres inverse kun er definerede i dette interval og 1,5868 ligger udenfor intervallet. Der er altså ingen løsning her. Derimod ligger -0,4201 i intervallet, så her er der en løsning.


Brugbart svar (0)

Svar #3
11. april 2019 af mathon

         \small \small \begin{array}{ll} 18\sin^2(x)-21\cos(x)-4=2&0\leq x\leq 2\pi \\\\ 18\left ( 1-\cos^2(x) \right )-21\cos(x)-6=0\\\\ -18\cos^2(x)-21\cos(x)+12=0&\textup{divideres med -3}\\\\ 6\cos^2(x)+7\cos(x)-4=0\\\\ \cos(x)=\frac{-7\mp \sqrt{7^2-4\cdot 6\cdot (-4)}}{2\cdot 6}\\\\ \cos(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{-7-\sqrt{145}}{12}\approx-1.5868&\textup{som m\aa \ forkastes} \\ \frac{-7+\sqrt{145}}{12}\approx {\, \, \, \, 0.4201} \end{array}\right. \end{array}

\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cos(x+p\cdot 2\pi )=\cos(2\pi -\left (x+p\cdot 2\pi \right ) )=\cos(-x+(1-p)\cdot 2\pi )=\cos(-x+p_1\cdot 2\pi )\quad p_1\in\mathbb{Z}

\small \cos(x+p\cdot 2\pi )=\tfrac{-7+\sqrt{145}}{12}

\small x+p\cdot 2\pi =\cos^{-1}\left (\tfrac{-7+\sqrt{145}}{12} \right )

         \small x=\begin{array}{lll} 1.1372&\textup{for p = 0} \end{array}

\small \cos(-x+p_1\cdot 2\pi )=\tfrac{-7+\sqrt{145}}{12}

\small -x+p_1\cdot 2\pi =\cos^{-1}\left (\tfrac{-7+\sqrt{145}}{12} \right )

         \small x=\begin{array}{lll} 5.1460&\textup{for p}_1 = 1 \end{array}


Svar #4
11. april 2019 af Ryder

#1

Funktionerne sin og cos kan antage værdier i intervallet [-1;1]. Det bevirker, at deres inverse kun er definerede i dette interval og 1,5868 ligger udenfor intervallet. Der er altså ingen løsning her. Derimod ligger -0,4201 i intervallet, så her er der en løsning.

Men kan min løsning godt passe eller har jeg lavet en fejl?


Brugbart svar (0)

Svar #5
11. april 2019 af oppenede

#4 Ligningnen er en 2.gradsligning mht. cos(x).
Løsningsformlen for en andengradsligning giver to cos(x)-løsninger:
   \small \\\text{\color{White}0} \\[-0.3cm]\cos(x)=(-7-\sqrt{145})/12\approx -1.5868\\\lor\ \cos(x)=(-7+\sqrt{145})/12\approx 0.42013

Dvs. den oprindelige lignings løsninger mht. x, er de x som gør at cos(x) enten er -1.5868 eller 0.42013.

Den første mulighed kan ses bort fra, da  cos(x) ≠ -1.5868  for alle x.
cos(x) = 0.42013  har derimod løsninger mht. x.


Svar #6
11. april 2019 af Ryder

#5

#4 Ligningnen er en 2.gradsligning mht. cos(x).
Løsningsformlen for en andengradsligning giver to cos(x)-løsninger:
   \small \\\text{\color{White}0} \\[-0.3cm]\cos(x)=(-7-\sqrt{145})/12\approx -1.5868\\\lor\ \cos(x)=(-7+\sqrt{145})/12\approx 0.42013

Dvs. den oprindelige lignings løsninger mht. x, er de x som gør at cos(x) enten er -1.5868 eller 0.42013.

Den første mulighed kan ses bort fra, da  cos(x) ≠ -1.5868  for alle x.
cos(x) = 0.42013  har derimod løsninger mht. x.

Ville løsningen så ikke være x =-/+ 2,0043+p*2pi  ?


Brugbart svar (0)

Svar #7
11. april 2019 af oppenede

#6 Nej, det er løsningen til  cos(x) = -0.42013.


Svar #8
11. april 2019 af Ryder

#7

#6 Nej, det er løsningen til  cos(x) = -0.42013.

Hvad er det så jeg helt præcis mangler?


Brugbart svar (0)

Svar #9
11. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Du mangler at finde x, når cos(x) = 0.42013.

Bemærk, at du havde en fortegnsfejl i de værdier, du var kommet frem til i #0. Den opdagede jeg ikke i starten, men der er andre, der har fundet de to korrekte værdier. Hvis du i mit første indlæg skifter fortegn på begge værdier, er indlægget stadig gældende.


Svar #10
11. april 2019 af Ryder

#9

Du mangler at finde x, når cos(x) = 0.42013.

Bemærk, at du havde en fortegnsfejl i de værdier, du var kommet frem til i #0. Den opdagede jeg ikke i starten, men der er andre, der har fundet de to korrekte værdier. Hvis du i mit første indlæg skifter fortegn på begge værdier, er indlægget stadig gældende.

Men når jeg sætter ligningen op i word i formlen så får jeg værdien -0,4201


Svar #11
11. april 2019 af Ryder

#3

         \small \small \begin{array}{ll} 18\sin^2(x)-21\cos(x)-4=2&0\leq x\leq 2\pi \\\\ 18\left ( 1-\cos^2(x) \right )-21\cos(x)-6=0\\\\ -18\cos^2(x)-21\cos(x)+12=0&\textup{divideres med -3}\\\\ 6\cos^2(x)+7\cos(x)-4=0\\\\ \cos(x)=\frac{-7\mp \sqrt{7^2-4\cdot 6\cdot (-4)}}{2\cdot 6}\\\\ \cos(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{-7-\sqrt{145}}{12}\approx-1.5868&\textup{som m\aa \ forkastes} \\ \frac{-7+\sqrt{145}}{12}\approx {\, \, \, \, 0.4201} \end{array}\right. \end{array}

\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cos(x+p\cdot 2\pi )=\cos(2\pi -\left (x+p\cdot 2\pi \right ) )=\cos(-x+(1-p)\cdot 2\pi )=\cos(-x+p_1\cdot 2\pi )\quad p_1\in\mathbb{Z}

\small \cos(x+p\cdot 2\pi )=\tfrac{-7+\sqrt{145}}{12}

\small x+p\cdot 2\pi =\cos^{-1}\left (\tfrac{-7+\sqrt{145}}{12} \right )

         \small x=\begin{array}{lll} 1.1372&\textup{for p = 0} \end{array}

\small \cos(-x+p_1\cdot 2\pi )=\tfrac{-7+\sqrt{145}}{12}

\small -x+p_1\cdot 2\pi =\cos^{-1}\left (\tfrac{-7+\sqrt{145}}{12} \right )

         \small x=\begin{array}{lll} 5.1460&\textup{for p}_1 = 1 \end{array}

Hvorfor divideres der med -3?


Brugbart svar (0)

Svar #12
12. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Det gør regningerne simplere.

Jeg har regnet det igennem og er kommet til det resltat, at du har en fortegnsfejl.

I min gennemregning har jeg kun divideret med 3. Det bevirker, at der i tælleren kommer til at stå +7 og i nævneren -12. Jeg vil gætte på, at du har glemt minusset i nævneren.

Det skal bemærkes, at da cosinusfunktionen er symmetrisk og x=5.1460 er en løsning, er x=-5.1460 også en løsning. Dette skal i  princippet kontrolleres ved indsættelse i den oprindelige ligning. Prøv det.


Svar #13
12. april 2019 af Ryder

#12

Det gør regningerne simplere.

Jeg har regnet det igennem og er kommet til det resltat, at du har en fortegnsfejl.

I min gennemregning har jeg kun divideret med 3. Det bevirker, at der i tælleren kommer til at stå +7 og i nævneren -12. Jeg vil gætte på, at du har glemt minusset i nævneren.

Det skal bemærkes, at da cosinusfunktionen er symmetrisk og x=5.1460 er en løsning, er x=-5.1460 også en løsning. Dette skal i  princippet kontrolleres ved indsættelse i den oprindelige ligning. Prøv det.

Så det ville sige at løsningen bliver -/+ 1,1372+p*2pi


Brugbart svar (0)

Svar #14
12. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Det er rigtigt.


Skriv et svar til: cos ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.