Matematik

Analytisk plangeometri - find punkterne for A, B & C

25. maj kl. 23:29 af ms002 - Niveau: B-niveau

Hej.

Jeg har lidt svært med at forstå denne opgave fordi, når jeg sætter ligningerne ind i geogebra, så bliver der ikke konstrueret en trekant. Jeg har haft isoleret y i alle lignineren, men det hjælper ikke. Håber evt, i kan foreklar mig, hvad jeg gør forkert. 

Vedhæftet fil: opgave_230.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. maj kl. 23:35 af peter lind


Brugbart svar (1)

Svar #2
25. maj kl. 23:42 af peter lind

Du skal se på ligningerne for AB og BC. De har et fælles punkt nemlig B, så koordinaterne for B opfylder begge ligninger. Så løs ligningssystemet 2x+y=11∧2x-y=17. Løsningen er koordinaterne til B.

På tilsvarende måde finder du koordinaterne til A og C


Brugbart svar (0)

Svar #3
26. maj kl. 08:35 af mathon

\small \begin{array}{lllll} \textup{sk\ae ringspunkt B:}\\ &4x=28\\ &x=7&\textup{indsat i }2x+y=11\\ &2\cdot 7+y=11\\ &y=-3\\ &B=(7,-3)\\\\ \textup{sk\ae ringspunkt A:}\\ &-4x-2y=-22\\ &\underline{\, \, \, \, \, \, \, \, x+2y=\, \, \, \, 16}\\ \textup{addition:}&-3x=-6\\ &x=2&\textup{indsat i }2x+y=11\\ &2\cdot 2+y=11\\ &y=7\\ &A=(2,7)\\\\ \textup{sk\ae ringspunkt C:}\\ &4x-2y=34\\ &\underline{\, \, \, x+2y=16}\\ \textup{addition:}&5x=50\\ &x=10&\textup{indsat i }x+2y=16\\ &10+2y=16\\ &5+y=8\\ &y=3\\ &C=(10,3) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #4
26. maj kl. 08:52 af mathon

b)

\small \small \small \begin{array}{lllll} \textup{vinkel C:}\\ \textup{for }a\textup{'s og }b\textup{'s}\\ \textup{normalvektorer}\\ \textup{haves:}&\begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0\\\\ \textup{hvorfor:}&\angle C=90\degree\\\\ \textup{vinkel } A\textup{ og }B\textup{ er derfor \textbf{spidse}.} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
26. maj kl. 09:06 af mathon

\small \small \begin{array}{lllll} \textup{vinkel A:}&\cos^{-1}\left (\frac{\left |\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1}\cdot \sqrt{1+2^2}} \right )=\cos^{-1}\left ( \frac{4}{5} \right )=\cos^{-1}(0.8)=36.9\degree\\\\ \textup{vinkel B:}&\cos^{-1}\left (\frac{\left |\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1}\cdot \sqrt{2^2+(-1)^2}} \right )=\cos^{-1}\left ( \frac{3}{5} \right )=\cos^{-1}(0.6)=53.1\degree \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
26. maj kl. 09:16 af mathon

\small \small \begin{array}{lllll} \textup{vinkel A:}&\cos^{-1}\left (\frac{\left |\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1}\cdot \sqrt{1+2^2}} \right )=\cos^{-1}\left ( \frac{4}{5} \right )=\cos^{-1}(0.8)=36.9\degree\\\\ \textup{vinkel B:}&\cos^{-1}\left (\frac{\left |\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1}\cdot \sqrt{2^2+(-1)^2}} \right )=\cos^{-1}\left ( \frac{3}{5} \right )=\cos^{-1}(0.6)=53.1\degree \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #7
26. maj kl. 09:39 af mathon


Brugbart svar (1)

Svar #8
26. maj kl. 09:54 af mathon

Mængden af punkter på \small v_A har samme afstand til \small \angle A\textup{'s} vinkelben
og ligger i forhold til
                                   \small \small \begin{array}{lll} &x+2y-16=0&\textup{i den negative halvplan}\\ &2x+y-11=0&\textup{i den positive halvplan}\\\\ \end{array}

.
\small \small \begin{array}{lllll} \textup{hvoraf:}&v_A\textup{:}& -\frac{x+2y-16}{\sqrt{5}}&=&\frac{2x+y-11}{\sqrt{5}}\\\\ && -x-2y+16&=&2x+y-11\\ &&3y=-3x+27 \\\\ &v_A\textup{:}&y=-x+9 \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #9
26. maj kl. 10:16 af mathon

\begin{array}{llll} m_a\textup{ indeholder}\\ \textup{punkterne} &(2,7)\textup{ og }\left (\frac{10+7}{2},\frac{-3+3}{2} \right )=(8.5,0)\\\\ \textup{hvoraf:}\\\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} x_1&y_1&x_2&y_2&a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&b=y_1-a\cdot x_1&y=ax+b\\ \hline 2&7&8.5&0&a=\frac{0-7}{8.5-2}=-\frac{14}{13}&b=7-\left ( -\frac{14}{13} \right )\cdot 2=\frac{119}{13}&y=-\frac{14}{13}x+\frac{119}{13} \end{array}\\\\ \textup{en ligning for }m_a\textup{:}&m_a\quad 14x+13y=119 \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #10
26. maj kl. 10:26 af mathon

\small \small \begin{array}{llll} h_a\textup{ er et stykke}\\ \textup{af linjen }&\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x+y-11=0\\\\ \textup{hvorfor h\o jden }\\ \textup{har samme ligning:}&h_a\textup{:}\quad2x+y-11=0 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #11
26. maj kl. 10:48 af mathon

se bort fra #6, som er en fejltastet gentagelse af #5.


Svar #12
26. maj kl. 15:48 af ms002

Med hensyn til svar #8, hvad betyder negativ og positiv halvplan, og hvorfor tager du kvadratroden af 5.


Brugbart svar (1)

Svar #13
26. maj kl. 17:15 af ringstedLC

a) Med GeoGebra CAS:

eller:

\begin{align*} AB:2x+y=11& \\ BC:2x-y=17&\Leftrightarrow y=2x-17 \\ \text{---------------}& \\ 4x=28&\Leftrightarrow x=7\Rightarrow y=2\cdot 7-17=-3 \\ B&:(7,-3) \\ AB:2x+y=11&\Leftrightarrow y=-2x+11 \\ AC:x+2y=16&\Leftrightarrow x+2\cdot \left (-2x+11\right )=16 \\ -3x+22=16&\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=-2\cdot 2+11=7 \\ A&:(2,7) \\ BC:2x-y=17&\Leftrightarrow y=2x-17 \\ AC:x+2y=16&\Leftrightarrow x+2\cdot \left (2x-17\right )=16 \\ 5x-34=16&\Leftrightarrow x=10\Rightarrow y=2\cdot 10-17= 3 \\ C&:(10,3) \\ \end{align*}

b) Vinkler:

\begin{align*} AB:2x+y &= 11\Leftrightarrow y=-2x+11 \\ BC:2x-y &= 17\Leftrightarrow y=2x-17 \\ AC:x+2y &= 16\Leftrightarrow y=-0.5x+8 \\ a_{BC}\cdot a_{AC} &= -1\Leftrightarrow BC\perp AC \Leftrightarrow \angle C=90^{\circ} \\ \angle A &= \sin^{-1}\left ( \tfrac{a}{c} \right )=\:?\;^{\circ} \\ \angle B &= \sin^{-1}\left ( \tfrac{b}{c} \right )=\:?\;^{\circ} \\ \end{align*}

c) A's halveringslinje:

\begin{align*} v_{nn}\text{ er vinkler med \textit{x}-aksen}: \\ \angle v_{A} &= -\left(\tfrac{\angle v_{AB}-\angle v_{AC}}{2}+\angle v_{AC}\right) =-\left(\tfrac{\angle v_{AB}+\angle v_{AC}}{2}\right) \\ \angle v_{A} &= \left(\tfrac{\tan^{-1}(-2)\, +\, \tan^{-1}(-0.5)}{2}\right)=-45^{\circ} \\ \tan\left(-45^{\circ}\right)=a_{v_A} &= -1 \\ v_A: y &= -x+b\Leftrightarrow b=y+x \\ b &= A_y+A_x \\ b &= 7+2=9 \\ y &= -x+9 \end{align*}

d) a's median:

\begin{align*} \text{Midtpunktet p\aa \,}BC&: \left(\tfrac{1}{2}\cdot (C_x-B_x)+B_x \, ,\,\tfrac{1}{2}\cdot (C_y-B_y)+B_y\right ) \\ D&: \left(8.5\, ,\,0\right ) \\ \tfrac{D_y-A_y}{D_x-A_x} &= \tfrac{0-7}{8.5-2}=a_{m_a}=-\tfrac{14}{13} \\ a_{m_a}: y &= -\tfrac{14}{13}x+b\Leftrightarrow b=y+\tfrac{14}{13}x \\ b &= A_y+\tfrac{14}{13}\cdot A_x \\ b &= 7+\tfrac{14}{13}\cdot 2=\tfrac{119}{13} \\ y &= -\tfrac{14}{13}x+\tfrac{119}{13} \;,\;A_x\leq x\leq D_x \\ y &= -\tfrac{14}{13}x+\tfrac{119}{13} \;,\;2\leq x\leq 8.5 \end{align*}

e) a's højde:

\begin{align*} \text{H\o jden p\aa \, \textit{a} er sammenfaldende med }AC:& \\ x+2y &= 16\;,\;A_x\leq x\leq C_x \\ x+2y &= 16\;,\;2\leq x\leq 10 \end{align*}

Vedhæftet fil:__1.png

Brugbart svar (0)

Svar #14
26. maj kl. 17:18 af ringstedLC

Vedhæftet fil:__2.png

Brugbart svar (0)

Svar #15
27. maj kl. 16:15 af mathon

korrektion grundet grafforbytning:

                      \small \begin{array}{llll} h_a\textup{ er et stykke}\\ \textup{af linjen }&\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x+2y=16\\\\ \textup{hvorfor h\o jden }\\ \textup{har samme ligning:}&h_a\textup{:}\quad x+2y=16\qquad 2\leq x\leq 10 \end{array}


Skriv et svar til: Analytisk plangeometri - find punkterne for A, B & C

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.