Bevis af sammensatte funktioner(hjælp)

Det skyldes, at g er kontinuert, da den er differentiabel.

Derfor gælder, at  g(x₀ + h) → g(x₀) for h → 0, og dermed at k = g(x₀ + h) - g(x₀) → 0 for h → 0.
Dermed får du udtrykket for differentialkvotienten , når du lader h gå mod 0.
PS! Der mangler lige 0 til sidst ved h → 0

#1

Det skyldes, at g er kontinuert, da den er differentiabel.

Derfor gælder, at  g(x₀ + h) → g(x₀) for h → 0, og dermed at k = g(x₀ + h) - g(x₀) → 0 for h → 0.
Dermed får du udtrykket for differentialkvotienten , når du lader h gå mod 0.
PS! Der mangler lige 0 til sidst ved h → 0

#1

Det skyldes, at g er kontinuert, da den er differentiabel.

Derfor gælder, at  g(x₀ + h) → g(x₀) for h → 0, og dermed at k = g(x₀ + h) - g(x₀) → 0 for h → 0.
Dermed får du udtrykket for differentialkvotienten , når du lader h gå mod 0.
PS! Der mangler lige 0 til sidst ved h → 0

Ok, tusinde tak. Jeg er ret sikker på at jeg har forstået det nu :) 

Jeg har nogle yderligere spørgsmål som jeg håber du kan hjælpe med. Synes altid du er så god til at forklare tingene. 

Jeg har disse 2 følgende spørgsmål: https://imgur.com/a/BVXHVmT

"betragt en funktion" og "introducer en funktion".. Ville det her være optimalt er tegne en tre dimensionel funktion fx x^2+y^2 og så ellers bare fortælle omkring det ting der spørges efter udefra funktionen eller hvad ville være mest optimalt?

Udover det, så har jeg også det her spørgsmål vedr. differentialtligninger, hvor jeg ikke forstår hvad der menes med "special tilfælde" og har ellers prøvet meget at forstå det: https://imgur.com/a/w4rf65H

åbenbart er y' et specialtilfælde af h(x). Jeg ved at man kan omskrive h(x) til y'=b-ay hvis man lader g(x) og g(x) være konstanterne a og b...

Ligningen
   y' = b - ay 
er den samme som
   y' + g(x)*y = h(x) 
hvis man vælger  g(x) = a  og  h(x) = b.

Ligningen
      y' + g(x)*y = h(x)
har y som ubekendt, mens g(x) og h(x) er parametre. Du behøver ikke at vælge en konkret funktion for begge parametre for at der er tale om et specialtilfælde. F.eks. med kun  h(x) = 0  bliver ligningen til
      y' + g(x)*y = 0
som er et specialtilfælde selvom der stadig er en uspecificeret parameter.

#3

Ligningen
   y' = b - ay 
er den samme som
   y' + g(x)*y = h(x) 
hvis man vælger  g(x) = a  og  h(x) = b.

Ligningen
      y' + g(x)*y = h(x)
har y som ubekendt, mens g(x) og h(x) er parametre. Du behøver ikke at vælge en konkret funktion for begge parametre for at der er tale om et specialtilfælde. F.eks. med kun  h(x) = 0  bliver ligningen til
      y' + g(x)*y = 0
som er et specialtilfælde selvom der stadig er en uspecificeret parameter.

Okay. Så specielle tilfælde af differentialligningen er bare andre differentielle ligninger som ligner y'(g(x)*y=h(x), hvor man fx kan lade g(x) og h(x) være konkrete funktioner(fx: 2x) eller konstanter? 

#2

Jeg har disse 2 følgende spørgsmål: https://imgur.com/a/BVXHVmT

"betragt en funktion" og "introducer en funktion".. Ville det her være optimalt er tegne en tre dimensionel funktion fx x^2+y^2 og så ellers bare fortælle omkring det ting der spørges efter udefra funktionen eller hvad ville være mest optimalt?

Jeg kan (måske) hjælpe med afklaring af konkrete matematiske spørgsmål, men jeg kan ikke hjælpe med strukturen i din fremlæggelse. Brug stukturen i undervisningsmaterialet til emnet, med mindre du synes, der er noget helt skævt, eller du har en knaldhamrende god ide, der peger på en anden vej.
 

#4

 

Okay. Så specielle tilfælde af differentialligningen er bare andre differentielle ligninger som ligner y'(g(x)*y=h(x), hvor man fx kan lade g(x) og h(x) være konkrete funktioner(fx: 2x) eller konstanter? 

Specialtilfælde er typisk et tilfælde, som er en "simplere" udgave af det generelle tilfælde - fx ved at funktioner er konstante eller konstanter er 0. Tit er specialtilfældene lettere at behandle og kan underttiden klares med "nemmere" metoder end den generelle.
Fx er specialtilfælde af 2.gradsligningen: x² + b·x = 0 (a = 1 og c = 0) eller  x² + c = 0 (a = 1 og b = 0).
x² + b·x = 0 ⇔ x·(x + b) = 0 ⇔ x = 0 el. x = -b og x² + c = 0 ⇔ x = ±√(-c) - helt uden brug af løsningsformlen.
Specialtilfælde af lineær differentialligning  y' + g(x)·y = h(x) er fx 
   y' = h(x), dvs. g(x) = 0. Den klares med stamfunktion
   y' + a·y = 0, dvs. g(x) = a og h(x) = 0. Den kan klares med separation af variable
   y' +  a·y = b (⇔ y' = b - a·y), dvs. g(x) = a og h(x) = b. Der skal den generelle løsningsmetode til lineære differentialligninger i anvendelse.

God fornøjelse!

#5

#2

Jeg har disse 2 følgende spørgsmål: https://imgur.com/a/BVXHVmT

"betragt en funktion" og "introducer en funktion".. Ville det her være optimalt er tegne en tre dimensionel funktion fx x^2+y^2 og så ellers bare fortælle omkring det ting der spørges efter udefra funktionen eller hvad ville være mest optimalt?

Jeg kan (måske) hjælpe med afklaring af konkrete matematiske spørgsmål, men jeg kan ikke hjælpe med strukturen i din fremlæggelse. Brug stukturen i undervisningsmaterialet til emnet, med mindre du synes, der er noget helt skævt, eller du har en knaldhamrende god ide, der peger på en anden vej.
 

#4

 

Okay. Så specielle tilfælde af differentialligningen er bare andre differentielle ligninger som ligner y'(g(x)*y=h(x), hvor man fx kan lade g(x) og h(x) være konkrete funktioner(fx: 2x) eller konstanter? 

Specialtilfælde er typisk et tilfælde, som er en "simplere" udgave af det generelle tilfælde - fx ved at funktioner er konstante eller konstanter er 0. Tit er specialtilfældene lettere at behandle og kan underttiden klares med "nemmere" metoder end den generelle.
Fx er specialtilfælde af 2.gradsligningen: x² + b·x = 0 (a = 1 og c = 0) eller  x² + c = 0 (a = 1 og b = 0).
x² + b·x = 0 ⇔ x·(x + b) = 0 ⇔ x = 0 el. x = -b og x² + c = 0 ⇔ x = ±√(-c) - helt uden brug af løsningsformlen.
Specialtilfælde af lineær differentialligning  y' + g(x)·y = h(x) er fx 
   y' = h(x), dvs. g(x) = 0. Den klares med stamfunktion
   y' + a·y = 0, dvs. g(x) = a og h(x) = 0. Den kan klares med separation af variable
   y' +  a·y = b (⇔ y' = b - a·y), dvs. g(x) = a og h(x) = b. Der skal den generelle løsningsmetode til lineære differentialligninger i anvendelse.

God fornøjelse!

Tusinde tak! Ift. det spørgsmål omkring funktioner af 2 variable, så er mit spørgsmål nok lidt nærmere hvordan jeg skal skelne mellem de 2 spørgsmål. Altså, den ene spørgs siger "betragt" og det andet siger "introducere". Hvad er forskellen? Skal jeg have fat i min lærer og spørge nærmere til det? 

Ja, det vil jeg foreslå. For mig at se er det næsten en og samme ting, men introducér kan indeholde, at du fortæller, hvad der forstår ved en funktion af to variable.