Matematik

omskriv til cirklens ligning og find tangent samt bevis punkt på cirklen

17. august 2019 af Sfreltofte - Niveau: A-niveau

hej

jeg sidder og kæmper med et stykke, hvor jeg ikke kan få det til at gå op. Med mindre der er en fejl i stykket... det hedder x^2 + y^2 + 4x - 8y = 5

jeg ville kunne faktorisere og få stykket til at gå op, hvis der skulle stå - 4x og ikke plus.

med ligningen ovenfor, ville jeg faktorisere til (x+2)^2 + (y-4)^2 = 5, men for at vide om det er en rigtig faktorisering, skal jeg sikre konstanten, og ganger derfor ud, for at få det rigtige udtryk og radius.

det giver x^2+4x+4+y^2-8y+16=5

derfra får jeg så x^2 + y^2 + 4x - 8y = 5 - 4 - 16 = -15.. der jo reelt er r^2, og noget i ^2 kan ikke være negativt... så hvad gør jeg galt ? .. hvis derimod der stod -4x ville jeg ende med 25 og derfra ville r=5, giver mere mening, men det er ikke sådan jeg har fået stykket.

er der nogen der kan hjælpe ?
skal vise at punktet P(0,1) ligger på cirklen, hvilket er let nok ved at sætte punktet ind i ligningen og se om det går op, hvilket det gør.. (men det ville det også med -4x)

og bestemme en ligning for tangenten til cirklen i punktet P. her skal jeg bruge a og b fra faktoriseringen, for at kende centrum konordinatsættet, og derfra finde normalvektoren, der så sættes ind i linjens ligning, som også er tangentens ligning. men ... hvis min faktorisering er forkert, bliver den del jo så også forkert.

hjælp :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. august 2019 af ringstedLC

Cirklens ligning:

$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2 &= r{\color{Red} ^2} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. august 2019 af ringstedLC

$\begin{align*} x^{2} + y^{2} + 4x - 8y &= 5 \\ x^{2} + 4x {\color{Red} \,+\, 4} + y^{2} - 8y {\color{Blue} \,+ \,16 } &= 5 {\color{Red} \,+ \,4 }{\color{Blue} \,+\, 16}=25=5^2 \\ (x+2)^2+(y-4)^2 &= 5^2 \\ P:&(0,1) \\ (0+2)^2+(1-4)^2 &= 5^2 \\ 2^2+(-3)^2 &= 25 \\ 4+9 &\neq25 \end{align*}$

men da:

$\begin{align*} x^{2} + y^{2} + 6x - 10y &= -9 \\ x^{2} + 6x {\color{Red} \,+\, 9} + y^{2} - 10y {\color{Blue} \,+ \,25 } &= -9 {\color{Red} \,+ \,9 }{\color{Blue} \,+\,25}=25=5^2 \\ (x+3)^2+(y-5)^2 &= 5^2 \\ P:&(0,1) \\ (0+3)^2+(1-5)^2 &= 5^2 \\ 3^2+(-4)^2 &= 25 \\ 9+16 &= 25 \\ \end{align*}$

kan du have fået byttet om på opgaver.

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. august 2019 af Eksperimentalfysikeren

Du forsøger at lave kvadratkomplettering ved at lægge to konstanter til på venstre side af lghedstegnet, men glemmer at lægge de samme konstanter til på højre side af lighedstegnet.

Brugbart svar (1)

Svar #4
18. august 2019 af SuneChr

Har man flere cirkel-ligninger, der skal kvadratkompletteres, kan det være nyttigt først at lave en skabelon.
For den normerede* ligning har vi:
(x - a)² + (y - b)² - r² = 0 ⇔
x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b²- r²) = 0
Aflæs koefficienten til x resp. y
Indsæt a og b i parentesen
Beregn/aflæs r²
____________
* Koefficienten til x² og y² er begge 1.

Skriv et svar til: omskriv til cirklens ligning og find tangent samt bevis punkt på cirklen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.