Matematik

Bestem k, så arealerne af M1 og M2 er lige store

20. september 2019 af Sofiehanw - Niveau: A-niveau

En funktion f er givet ved f(x)=-x^2 + 4x . Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første kvadrant et område M der har et areal.

a) Bestem arealet M.

En anden funkton g er givet ved: g(x)= k*x , hvor 0 < k < 4 er en konstant

Grafen for g opdeler området M i to delområder M1 og M2.

b) Bestem k, så arealerne af M1 og M2 er lige store.

Jeg har allerede besvaret a) som bliver 10.6667. Men hvordan løser jeg b?

Brugbart svar (1)

Svar #1
20. september 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{areal:}&A_M=\int_{0}^{4}(-x^2+4x)\, \mathrm{d}x \end{array}$

Svar #2
20. september 2019 af Sofiehanw

Nåh men det første har jeg allerede besvaret Mathon, det var det andet jeg har svært ved. Altså b :)

Svar #3
20. september 2019 af Sofiehanw

Jeg tænker at bruge den samme formel for integral regning for at finde den. Altså

$\int_0^k (g(x)-f(x))dx \int_k^4 (g(x)-f(x))dx$
Men når jeg så gør det, får jeg nogle mærkelige resultater!?

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. september 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} \textup{f(x) og g(x)}&\textup{sk\ae res for}&x=\left\{\begin{matrix} 0\\4-k \end{matrix}\right.\\\\ \textup{beregning }&\textup{af k for ligedelt areal:}\\\\ &\int_{0}^{4-k}(f(x)-g(x))\, \mathrm{d}x=\frac{16}{3} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. september 2019 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{lllll}\ &\int_{0}^{4-k}(-x^2+(4-k)x)\, \mathrm{d}x=\frac{16}{3}\\\\ &\left [-\frac{1}{3}x^3+(4-k)\cdot \frac{1}{2}x^2 \right ]_{0}^{4-k}=\frac{16}{3}\\\\ &-\frac{1}{3}(4-k)^3+\frac{1}{2}(4-k)(4-k)^2=\frac{16}{3}\\\\ &-\frac{1}{3}(4-k)^3+\frac{1}{2}(4-k)^3=\frac{16}{3}\\\\ &\left ( -\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right )(4-k)^3=\frac{16}{3}\\\\ & \frac{1}{6} (4-k)^3=\frac{16}{3}\\\\ &(4-k)^3=32\\\\ &4-k=2^{\frac{5}{3}}\\\\ &k=4-2^{\frac{5}{3}}\approx 0.8252 \end{array}$

Svar #6
20. september 2019 af Sofiehanw

Men hvorfor bliver det lig med $\frac{16}{3}$ og ikke $\frac{32}{3}$ som jeg fik arealet af M for? Er det fordi det er halvdelen af M eller hvordan skal det forstås?

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. september 2019 af mathon

...halvdelen.

Skriv et svar til: Bestem k, så arealerne af M1 og M2 er lige store

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.