Matematik

Bestem k, så arealerne af M1 og M2 er lige store

05. oktober kl. 22:45 af lenemoller - Niveau: A-niveau

Jeg har brug for hjælp til opgave b i det vedhæftede arkiv, jeg har løst opgave a, som jeg får til et areal på 10,6667 


Brugbart svar (0)

Svar #1
05. oktober kl. 23:08 af Bibo53

Sæt h=f-g, dvs. h(x)=-x^2+(4-k)x. Vis at h har nulpunkt i 4-k, og at arealet af M_1 er lig med

\int_0^{4-k}h(x)\,dx.


Svar #2
06. oktober kl. 00:15 af lenemoller

Hvorfor 4-k? 


Brugbart svar (0)

Svar #3
06. oktober kl. 00:20 af ringstedLC

b)

\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ -x^2+4x &= kx \\ -x^2+(4-k)x &= 0\Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}0\\x_0\text{ udtrykt ved }k\end{matrix}\right. \\ M_1=M_2\Rightarrow M_1 &= 0.5M \\ M_1 &= 0.5M \\ \int_{0}^{x_0}\left ( f(x)-g(x) \right )\,dx &= 0.5M \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #4
06. oktober kl. 07:54 af mathon


Brugbart svar (1)

Svar #5
06. oktober kl. 13:46 af Bibo53

#2

Hvorfor 4-k? 

Fordi graferne for f og g skærer hinanden i x=4-k. Det ser vi ved at løse ligningen f(x)=g(x), der også kan skrives f(x)-g(x)=0. Når vi sætter ind, får vi

-x^2+(4-k)x=0.

Dette er en andengradsligning, og løsningerne er x=0 og x=4-k.

Integralet

\int_0^{4-k}f(x)\,dx

er lig med arealet af M_1 plus trekanten afgrænset af linjen x=4-k, førsteaksen og den skrå linje. For at finde arealet af M_1 skal vi fratrække arealet af trekanten. Da trekantens areal er

\int_0^{4-k}g(x)\,dx,

er arealet af M_1 lig med

\int_0^{4-k}f(x)\,dx-\int_0^{4-k}g(x)\,dx=\int_0^{4-k}\left(f(x)-g(x)\right)\,dx.

Ved udregning af dette integral får vi arealet af

M_1 udtrykt ved k. Sæt nu dette udtryk lig med \frac{16}{3} (det halve af arealet af M) og løs ligningen med hensyn til k.


Skriv et svar til: Bestem k, så arealerne af M1 og M2 er lige store

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.