Matematik

Bestem k, så arealerne af M1 og M2 er lige store

05. oktober 2019 af lenemoller - Niveau: A-niveau

Jeg har brug for hjælp til opgave b i det vedhæftede arkiv, jeg har løst opgave a, som jeg får til et areal på 10,6667

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-10-05 kl. 22.43.10.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. oktober 2019 af Bibo53

Sæt $h=f-g$ , dvs. $h(x)=-x^2+(4-k)x$ . Vis at $h$ har nulpunkt i $4-k$ , og at arealet af $M_1$ er lig med

$\int_0^{4-k}h(x)\,dx$ .

Svar #2
06. oktober 2019 af lenemoller

Hvorfor 4-k?

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. oktober 2019 af ringstedLC

$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ -x^2+4x &= kx \\ -x^2+(4-k)x &= 0\Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}0\\x_0\text{ udtrykt ved }k\end{matrix}\right. \\ M_1=M_2\Rightarrow M_1 &= 0.5M \\ M_1 &= 0.5M \\ \int_{0}^{x_0}\left ( f(x)-g(x) \right )\,dx &= 0.5M \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. oktober 2019 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #5
06. oktober 2019 af Bibo53

#2
Hvorfor 4-k?

Fordi graferne for $f$ og $g$ skærer hinanden i $x=4-k$ . Det ser vi ved at løse ligningen $f(x)=g(x)$ , der også kan skrives $f(x)-g(x)=0$ . Når vi sætter ind, får vi

$-x^2+(4-k)x=0$ .

Dette er en andengradsligning, og løsningerne er $x=0$ og $x=4-k$ .

Integralet

$\int_0^{4-k}f(x)\,dx$

er lig med arealet af $M_1$ plus trekanten afgrænset af linjen $x=4-k$ , førsteaksen og den skrå linje. For at finde arealet af $M_1$ skal vi fratrække arealet af trekanten. Da trekantens areal er

$\int_0^{4-k}g(x)\,dx$ ,

er arealet af $M_1$ lig med

$\int_0^{4-k}f(x)\,dx-\int_0^{4-k}g(x)\,dx=\int_0^{4-k}\left(f(x)-g(x)\right)\,dx$ .

Ved udregning af dette integral får vi arealet af

$M_1$ udtrykt ved $k$ . Sæt nu dette udtryk lig med $\frac{16}{3}$ (det halve af arealet af $M$ ) og løs ligningen med hensyn til $k$ .

Skriv et svar til: Bestem k, så arealerne af M1 og M2 er lige store

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.