Matematik

Inhomogen 2. ordens differentialligning

14. oktober kl. 10:55 af IMBN3 - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan griber jeg denne differentialligning an

d2y/dx2 +6y = 3e2x ?
I opgaven står der: Bestem A.
Hvilket siger mig, at jeg skal bruge nålestiksmetoden, men jeg synes, der mangler enten et b eller et c før jeg kan bruge den.
Jeg er meget interesseret i begrundelsen for den metode, jeg skal bruge, ikke kun et svar på hvilken metode.

På forhånd atk.


Brugbart svar (0)

Svar #1
14. oktober kl. 12:02 af swpply

1) Du begynder med at løse den til differentialligningen karakteriskte ligning og derefter opskriver den til differentialligningen homogene løsningen.

2) Du bestemer en partikulær løsning til differentialligningen ved at gætte på at løsningen er på formen y(x) = a*e2x, hvor a et et reelt tal (hint: a = 3/10).

3) Den fulde løsning til differential ligningen bliver derfor y(x) = y1(x) + y2(x). Hvor y1(x) er den homogene løsningen fundet i (1) og y2(x) er den i (2) funde partikulær løsning.


Svar #2
14. oktober kl. 12:47 af IMBN3

Jeg ved godt hvordan jeg gør det. men mit spørgsmål går på, om det er nålestiksmetoden, jeg skal bruge og om i så fald det er b eller c der mangler.


Brugbart svar (0)

Svar #3
14. oktober kl. 13:06 af swpply

Jeg har aldrig hørt om "nålestiksmetoden", så der må jeg være dig svar skyldig.

Men hvis du godt ved hvordan du løser den, så er det vel fuldstændingt ligegyldigt hvad metoden heder. Sålænge du ræsonnere korrekt i din besvarelse af opgaven.


Brugbart svar (0)

Svar #4
14. oktober kl. 13:13 af swpply

Jeg er meget interesseret i begrundelsen for den metode, jeg skal bruge, ikke kun et svar på hvilken metode

Generalt har du at en partikulær løsning findes ved et heuristik gæt. Og som det altid er med heuristike gæt, kan de syntes "sort magi" indtil den dag man selv har den fornødne erfaring. Det er ganske normalt at løse sådan (og andre) problmer i matematikken ved at begynde med et ansatz som at y(x) = a*e2x er en partikulær løsning til ODE'en y'' + 6y = 3e2x.


Svar #5
14. oktober kl. 13:54 af IMBN3

Jeg tror du har misforstået, hvad jeg ønskede hjælp til. Jeg ønskede at vide, OM det var nålestiksmetoden (som er den, du beskrev i #1), jeg skulle bruge. Og grunden til, at jeg var i tvivl, var fordi der manglede et led. Og så var jeg interesseret i at finde ud af, om det var b eller c, der manglede. Da det har betydning for svaret.
Desuden ville jeg gerne have en begrundelse for hvorfor den metode, der blev svaret, var den, der blev svaret. Det plejer man jo at kunne se ud af fra ligningen. men da jeg har svært ved at se det af og til, ville det være rart, hvis jeg selv kunne bestemme det en anden gang.
Men tak for din hjælp alligevel.
Hvis du gider, må du meget gerne uddybe i en udregning hvordan du kom frem til a=3/10?


Brugbart svar (0)

Svar #6
14. oktober kl. 14:10 af swpply

Det kan meget vel være at jeg har misforstået dit spørgsmål. Men jeg skal gerne prøve om jeg stadig kan hjælpe. Men så må du først fortælle mig hvad nålestiksmetoden er og hvad b og c (som du omtaler) referere til.

Hvis du gider, må du meget gerne uddybe i en udregning hvordan du kom frem til a=3/10?

Som sagt, antag af y(x) = a*e2x er en partikulær løsning til din inhomogene differentialligning. Da har du at

              \frac{d^2}{dx^2}(ae^{2x}) + 6ae^{2x} = 3e^{2x} \quad\Leftrightarrow\quad (4+6)a\cancel{e^{2x}} = 3\cancel{e^{2x}} \quad\Leftrightarrow\quad a = \frac{3}{10} 


Svar #7
14. oktober kl. 14:47 af IMBN3

Nålestiksmetoden er den, du selv beskrev i #1. men det ser ud til, at vi har lært tingene forskelligt.

b og c er de her

d2y/dx2 + b*dy/dx + cy=g(x)


Svar #8
14. oktober kl. 14:51 af IMBN3

Hvor får du de 4 fra? Er det fra Y0''(x)?


Brugbart svar (1)

Svar #9
14. oktober kl. 15:27 af swpply

 Nålestiksmetoden er den, du selv beskrev i #1. men det ser ud til, at vi har lært tingene forskelligt.

Der kan man bare se. Jeg vidste ikke at man havde navngivet metoden (jeg har dog svært ved at se hvad nålestik refere til). 

b og c er de her

d2y/dx2 + b*dy/dx + cy=g(x)

I såfald er b = 0 og c = 6.

Hvor får du de 4 fra? Er det fra Y0''(x)?

Ja, de 4 fremkommer ved at differentiere a*e2x to gange. 


Svar #10
14. oktober kl. 18:51 af IMBN3

Mange tak :)


Brugbart svar (0)

Svar #11
14. oktober kl. 19:55 af AMelev

#0 Læg lige et billede af opgaven op. Du skriver, at du skal bestemme A, men der optræder ikke et A i det, du har skrevet.
Jeg har heller aldrig hørt om nålestiksmetoden, men jeg har googlet den og fundet noget, der ser fornuftigt ud i dette link side 46.
Der tager man udgangspunkt i den inhomogene ligning d2y/dx2 + b·dy/dx + c·y = g(x)
d2y/dx2 + 6y = 3e2x, dvs. at i din opgave er b = 0, c = 6 og g(x) = e2x.

Løsningen til den homogene ligning er altså c1·cos(√6 x) + c2·?sin(√6 x) og så skal du bestemme en patikulær løsning.

Hvis y(x) = a·e2x indsættes i differentialligningen, får du 
\frac{\partial^2 y(x)}{\partial x^2}+6y(x) = 3\cdot e^{2x}\Leftrightarrow 10a\cdot e^{2x}= 3\cdot e^{2x}\Leftrightarrow 10 = 3 \Leftrightarrow a = \frac{10}{3}


Brugbart svar (0)

Svar #12
14. oktober kl. 22:02 af swpply

#11

\frac{\partial^2 y(x)}{\partial x^2}+6y(x) = 3\cdot e^{2x}\Leftrightarrow 10a\cdot e^{2x}= 3\cdot e^{2x}\Leftrightarrow 10 = 3 \Leftrightarrow a = \frac{10}{3}

Her er der vist sniget sig et par taste-fejl ind efter de sidste to biimplikationer. Mig bekendt gælder der generalt ikke at 10 = 3 ;-)
Og envider er resultatet a=3/10 og ikke a=10/3.


Brugbart svar (0)

Svar #13
15. oktober kl. 12:21 af AMelev

Jep! 10a = 3 ⇔ a = 3/10. Undskyld.


Skriv et svar til: Inhomogen 2. ordens differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.