Matematik

Integration ved substitution

21. oktober 2019 af Lei20 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan ville man integrere denne funktion?

Integralet af x * sin(x^2) dx med grænserne √pi og 0

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. oktober 2019 af Meppo

Brug substitutionen: $t=x^2\Leftrightarrow \frac{dt}{dx}=2x\Leftrightarrow dx=\frac{dt}{2x}$

Husk at lave nye grænser.

Svar #2
21. oktober 2019 af Lei20 (Slettet)

Nye grænser? Det har jeg ikke fået noget at vide om, da min lærer gennemgik emnet i dag.

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. oktober 2019 af Meppo

De gamle grænser var med hensyn til x. De nye er med hensyn til t.

Du skifter jo variabel fra x over til t.

$x=\sqrt{\pi}\rightarrow t=x^2 =\pi. x=0\rightarrow t=0^2 = 0$

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. oktober 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llll} \textup{Brug substitutionen}\qquad u=x^2\textup{ og dermed } \quad \frac{1}{2}\mathrm{d}u=x \mathrm{d}x\quad \begin{matrix} \sqrt{\pi }\\0 \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} \pi \\0 \end{matrix}\\\\ \int_{0}^{\sqrt{\pi }} x\cdot \sin(x^2)\mathrm{d}x=\int_{0}^{\sqrt{\pi }} \sin(x^2) x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \int_{0}^{\pi } \sin(u) \mathrm{d}u=\frac{1}{2}\cdot \left [-\cos(u) \right ]_{0}^{\pi }=\\\\ \frac{1}{2}\cdot \left ( -\cos(\pi ) -\left ( -\cos(0) \right )\right )=\frac{1}{2}\cdot \left ( -(-1)-(-1) \right )=\frac{1}{2}\cdot \left ( 1+1 \right )=1 \end{array}$

Svar #5
21. oktober 2019 af Lei20 (Slettet)

Tusind tak mathon. Hvad giver (sin(pi/6))^3 i eksakt værdi?

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. oktober 2019 af AMelev

#5 Se din formelsamling s.23 (126)

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. oktober 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llll} \left (\sin\left ( \frac{\pi }{6} \right ) \right )^3=\left ( \frac{1}{2} \right )^3=\frac{1}{8} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. oktober 2019 af AMelev

#2 Hvis man skriver det bestemte integral, så betyder dx, at variablen er x, og dermed er grænserne knyttet til x. Når man så via substitutionen indfører dt, så skal grænserne være knyttet til t.
Det er meget muligt, at I i timen i dag først har bestemt det ubestemte integral og så derefter det bestemte - det er lidt mere langsommeligt, men lige så rigtigt.

$t = x^2\Rightarrow \frac{dt}{dx}=2x\Rightarrow "dt=2x\cdot dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{2x}"$

$\int x\cdot sin(x^2) dx=\int \frac{1}{2}sin(t)dt=- \frac{1}{2}cos(t)=- \frac{1}{2}cos(x^2)$

Dvs. at $\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x\cdot sin(x^2) dx=\left [- \frac{1}{2}cos(x^2) \right ]_{0}^{\sqrt{\pi}}= - \frac{1}{2}cos(\pi)-(- \frac{1}{2}cos(\pi))= \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}=1$

Ved at omregne til nye grænser slipper man for at skulle tilbage substituere til en funktion i x i det ubestemte integral og så bagefter lave en ny linje med det bestemte integral, men det er en smags sag.

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. oktober 2019 af AMelev

Ad i #8. i sidste linje er der en åbenbar fejl:

$.....= - \frac{1}{2}cos(\pi)-(- \frac{1}{2}cos(\mathbf{{\color{Red} 0}}))=...$
Sorry!

Svar #10
21. oktober 2019 af Lei20 (Slettet)

Mange tak for hjælpen :-)

Skriv et svar til: Integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.