Matematik

Lagranges metode

04. november 2019 af fysik4 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Er der nogle, som vil kunne hjælpe med følgende opgave? Jeg er ikke helt sikker på, hvordan jeg skal gribe den an, og er meget i tvivl omkring Lagranges metode. Mange tak på forhånd.

Ved forsendelse af såkaldte ruller, altså pakker i cylinderform, kræver postvæsenet i Langtbortistan, at summen af længden l, og tre en halv gange diameteren d højst må være 84 cm. Hvad er det maksimale volumen af sådan en rulle?

Redegør for, at opgaven kan løses ved at bestemme maksimum for en funktion V(l,d) defineret i en afsluttet og begrænset delmængde af R^2 (optimering under bibetingelser). Løs dette optimeringsproblem dels ved elimination af én af de variable og dels ved brug af Lagranges metode.

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. november 2019 af chyvak

Volumen af en rulle af længde l >= 0 med diameter d >= 0 er:

$V(l,d) = \frac{\pi}{4}d^2l$

hvilket er underkastet betingelsen:

$g(l,d) =l + \frac{7}{2}d - 84 = 0$

idet vi forudsætter længdemål regnes i centimeter. Volumenfunktionen er dermed defineret i den afsluttede delmængde af R^2 givet ved l>=0, d>=0 og betingelsen g og problemet er at maksimere V på denne mængde.

Een måde at løse det på er ved variabelelimination via betingelsen g. I dette tilfælde kan man via g enten udtrykke l ved d eller omvendt, dernæst indsætte i udtrykket for V. Hverved fås en funktion af een variabel for hvilken ekstrema findes på vanlig vis.

En anden måde er via Langrangemultiplikatorer. Ved denne dannes en nye funktion, i dette tilfælde:

$L(l,d,\lambda) = V(l,d) + \lambda g(l,d))$

hvor lambda er Lagrangemultiplikatoren. Det er nu således, at hvis V(l_0, d_0) er et maksimum for V(l,d) så findes der et lambda_0 så at (l_0, d_0, lambda_0) er et stationært punkt for Lagrangefunktionen L. Det er dog ikke nødvendigvis maksimum. Finder man derfor de stationære punkter for Lagrangefunktionen har man et sæt punkter der er kandidater til maksima, men man må selv undersøge om de rent faktisk er det ved at evaluere V i disse punkter.

De stationære punkter for L findes på sædvanlig vis ved ekstremaundersøgelse af funktioner af flere variable.

Svar #2
05. november 2019 af fysik4

Mange tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Lagranges metode

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.